c/m 1) x^2+y^2+z^2 >=2xy-2zx+2yz
2)x^4 +y^4+z^2+1>=2x(xy^2-x+z+1)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TL
0
20 tháng 7 2020
a) Ta có: \(VT=\left(x-y-z\right)^2\)
\(=\left(x-y-z\right)\left(x-y-z\right)\)
\(=x^2-xy-xz-yx+y^2+yz-zx+zy+z^2\)
\(=x^2+y^2+z^2-2xy+2yz-2xz\)
=VP(đpcm)
b) Ta có: \(VT=\left(x+y-z\right)^2\)
\(=\left(x+y-z\right)\left(x+y-z\right)\)
\(=x^2+xy-xz+yx+y^2-yz-zx-zy+z^2\)
\(=x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2zx\)
=VP(đpcm)
c) Sửa đề: Chứng minh \(\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)=x^4-y^4\)
Ta có: \(VT=\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\)
\(=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2-xy^3-y^4\)
\(=x^4-y^4\)
=VP(đpcm)
d) Ta có: \(VT=\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\right)\)
\(=x^5-x^4y+x^3y^2-x^2y^3+xy^4+x^4y-x^3y^2+x^2y^3-xy^4+y^5\)
\(=x^5+y^5\)
=VP(đpcm)
20 tháng 7 2020
a, b, nhân vào là ra à
c, nghe cứ là lạ
d, cũng nhân là ra hà
\(=x^5-x^4y+x^3y^2-x^2y^3+xy^4+x^4y-x^3y^2+x^2y^3-xy^4+y^5=x^5+y^5\)
UK
13 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\dfrac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
29 tháng 4 2020
Ta có:
\(15\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)=10\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)+2014\)
\(\le10\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+2014\)
=> \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\le\frac{2014}{5}\)
\(P=\frac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2yz}}+\frac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2zx}}+\frac{1}{\sqrt{5z^2+2zx+2xy}}\)
=> \(P\sqrt{\frac{2014}{135}}=\frac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2yz}.\sqrt{\frac{135}{2014}}}\)
\(+\frac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2zx}\sqrt{\frac{135}{2014}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{135}{2014}}\sqrt{5z^2+2zx+2xy}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5x^2+2xy+2yz}+\frac{2014}{135}+\frac{1}{5y^2+2yz+2zx}+\frac{2024}{135}+\frac{1}{5z^2+2yz+2zx}+\frac{2014}{135}\right)\)
\(\le\frac{1}{2}\left[\frac{1}{81}\left(\frac{5}{x^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}\right)+\frac{1}{81}\left(\frac{5}{y^2}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}\right)+\frac{1}{81}\left(\frac{5}{z^2}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}\right)+\frac{2014}{45}\right]\)
\(=\frac{5}{162}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\frac{2}{81}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)+\frac{1007}{45}\)
\(\le\frac{5}{162}.\frac{2014}{5}+\frac{2}{81}.\frac{2014}{5}+\frac{1007}{45}=\frac{2014}{45}\)
=> \(P\le\frac{2014}{45}:\sqrt{\frac{2014}{135}}=3\sqrt{\frac{2014}{135}}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = \(\sqrt{\frac{15}{2014}}\)
NH
15 tháng 7 2017
a) \(VT=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)
\(=x^3+x^2+x-x^2-x-1\)
\(=x^3-1=VP\)
b) \(VT=\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)\)
\(=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2-xy^3-y^4\)
\(=x^4-y^4=VP\)
c) \(VT=\left(x+y+z\right)^2\)
\(=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)z+z^2\)
\(=x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2\)
\(=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=VP\)
Chúc bạn học tốt.
TD
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 10 2019
1/ ĐKXĐ: \(x\ge1;y\ge4\)
\(M=\frac{1\sqrt{x-1}}{x}+\frac{2.\sqrt{y-4}}{2y}\le\frac{1+x-1}{2x}+\frac{4+y-4}{4y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\(M_{max}=\frac{3}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-4}=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=8\end{matrix}\right.\)
2/ \(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2+4x+4=8\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+2\right)^2=8=2^2+2^2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=4\\\left(x+2\right)^2=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)
3/ \(\frac{x^2}{y^2}+1\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}=\frac{2x}{y}\)
Tương tự: \(\frac{y^2}{z^2}+1\ge\frac{2y}{z}\) ; \(\frac{z^2}{x^2}+1\ge\frac{2z}{x}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+3\ge\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+3\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+3\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+3\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
CC
19 tháng 5 2017
Câu a.
Ta luôn có
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\) (do a+b < a+b+c)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng theo từng vế rồi rút gọn ta đươc đpcm
19 tháng 5 2017
Cảm ơn b nhé. B biết làm.câu b c d không giúp m với