giup minh voi. cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H
a) HA +HB +HC < AB +AC
b) HA+ HB +HC < 2 phần 3 của tổng BC, CÁ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 7 2023
a) Ta có: HA = 2RcosA HB = 2RcosB HC = 2RcosC AB = 2RsinC AC = 2RsinB Vậy ta cần chứng minh: 2RcosA + 2RcosB + 2RcosC < 2RsinC + 2RsinB Chia cả 2 vế cho 2R, ta có: cosA + cosB + cosC < sinC + sinB Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: sinC + sinB > sin(A + B) = sinCOSA + cosCSINA = cosA + cosB Vậy ta có: cosA + cosB + cosC < sinC + sinB Do đó, ta có HA + HB + HC < AB + AC. b) Ta có: AB + BC + CA = 2R(sinA + sinB + sinC) = 2R(sinA + sinB + sin(A + B)) = 2R(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) = 4Rsin(A + B/2)cos(A - B/2) + 2Rsin(A + B) Vậy ta cần chứng minh: 2RcosA + 2RcosB + 2RcosC < 2332 (4Rsin(A + B/2)cos(A - B/2) + 2Rsin(A + B)) Chia cả 2 vế cho 2R, ta có: cosA + cosB + cosC < 1166(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: sin(A + B) > sinC = sin(A + B/2 + B/2) = sin(A + B/2)cos(B/2) + cos(A + B/2)sin(B/2) Vậy ta có: 2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B) < 2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B/2)cos(B/2) + cos(A + B/2)sin(B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2)) + cos(A + B/2)sin(B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2)) + sin(B/2)cos(A + B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2) + cos(A + B/2)) Vậy ta có: cosA + cosB + cosC < 1166(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) < 1166(sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2) + cos(A + B/2))) Do đó, ta có HA + HB + HC < 2332(AB + BC + CA).
TT
1
2 tháng 8 2019
Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
2 tháng 8 2019
a) Qua H kẻ HG//AB cắt AC tại G; kẻ HI//AC cắt AB tại I như hình vẽ.
=> HI vuông BH ; CH vuông HG
và AIHG là hình bình hành
Xét tam giác BHI vuông tại H => BH<BI ( mối quan hệ cạnh góc vuông và cạnh huyền) (1)
Xét tam giác CHG vuông tại H => CH<CG
=> CH+BH + AH< BI+CG +AH
Ta lại có AH <AI+IH ( bất đẳng thức trong tam giác AIH)
mà IH=AG ( AIHG là hình bình hành theo cách vẽ )
=> AH < AI+AG
Vậy CH+BH+AH<BI+CG+AI+AG=AB+AC
b) Chứng minh AB+AC+BC>3/2 (HA+HB+HC)
Chứng minh tương tự như câu a.
Ta có: \(AB+AC>HA+HB+HC\)
\(BC+AC>HA+HB+HC\)
\(AB+BC>HA+HB+HC\)
Cộng theo vế ta có:
\(2AB+2AC+2BC>3HA+3HB+3HC\)
=> \(2\left(AB+AC+BC\right)>3\left(HA+HB+HC\right)\)
=> \(AB+AC+BC>\frac{3}{2}\left(HA+HB+HC\right)\)
TT
1
2 tháng 8 2019
Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
LD
2
8 tháng 5 2017
Từ trực tâm H kẻ HD//AB, HE//AC (E thuộc AB, D thuộc AC)
HE//AC. Mà BH vuông góc với AC => BH vuông góc với HE (Quan hệ song song vuông góc)
=> HB<EB (Quan hệ đường xiên, đường vuông góc) (1)
HE//AD, HD//AE => HE=AD, HD=AE (Tính chất đoạn chắn)
Ta có: HA<AD+HD (BĐT tam giác). Thay HD=AE vào biểu thức bên: HA<AD+AE (2)
Tương tự: HD//AB, CH vuông góc với AB => CH vuông góc với HD
=> HC<DC (Đường xiên, đường vuông góc) (3)
Từ (1), (2) và (3) => HA+HB+HC<EB+AD+AE+DC => HA+HB+HC<(EB+AE)+(AD+DC)
=> HA+HB+HC<AB+AC. (4)
Tương tự bạn giải ra: HA+HB+HC<AB+BC (5)
HA+HB+HC<AC+BC (6)
Từ (4),(5) và (6) => 3(HA+HB+HC)<(AB+AC)+(AB+BC)+(AC+BC) (Cộng vế với vế)
=> 3(HA+HB+HC)<2AB+2AC+2BC => 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)
hay 2(AB+AC+BC)>3(HA+HB+HC) (đpcm)
**** nha!!!
6 tháng 5 2017
Vì AB+AC+BC > HA+HB+HC
mà 2(AB+AC+BC) >4(HA+HB+HC)
=> 2(AB+AC+BC)>3(HA+HB+HC)
HP
1
Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!