Question

[Devil Girl]

Chứng minh rằng

1. A = n³ + 6n² – 19n – 24 chia hết cho 6.

Answer 1

[Trần Tuyết Như]

\(n^3+6n^2-19n-24=\left(n^3+n^2\right)+\left(5n^2+5n\right)-\left(24n+24\right)\)

\(=n^2\left(n+1\right)+5n\left(n+1\right)-24\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n^2+5n-24\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left[\left(n^2+2n\right)+\left(3n+6\right)-30\right]=\left(n+1\right)\left[n\left(n+2\right)+3\left(n+2\right)-30\right]\)

\(=\left(n+1\right)\left[\left(n+2\right)\left(n+3\right)-30\right]=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)-30\left(n+1\right)\)

thấy : \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) là 3 số tự nhiên liên tiếp, trong đó có 1 số chia hết cho 3, có ít nhất 1 số chia hết cho 2

mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau (có ước chung là 1)  => (n + 1) (n + 2) (n + 3) chia hết cho 2.3 = 6

và 30 (n + 1) cũng chia hết cho 6

=> đpcm