Question

[Cô Hoàng Huyền]

Cho đường tròn $(O)$, điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $AM$, $AN$ với đường tròn ($M$, $N$ là các tiếp điểm).
a) Chứng minh \(OA\perp MN\).
b) Gọi I là giao điểm của $OA$ với $(O)$. Chứng minh $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MNA$.
c) Góc $MAN$ bằng bao nhiêu độ để tứ giác $OMIN$ là hình thoi?

Answer 1

[Ĵ❍ƙĔŔᵛᶰ(*•.¸♡ţęąɱ ƒŗęę ƒįŗę❤☆)]

Giải thích các bước giải:

a/ Chứng minh: OA vuông góc MN.

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có $AM=AN\Rightarrow A$ thuộc trung trực của MN.

Lại có $OM=ON=R\Rightarrow O$ thuộc trung trực của MN

$\Rightarrow OA$ là trung trực của MN.

$\Rightarrow OA\perp MN$ (1).

b/ Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng: MC//AO.

Xét tam giác MNC có: $MO=OC=ON=R\Rightarrow MC=\frac{1}{2}NC$

$\Rightarrow \Delta MNC$ vuông tại M (Định lí đường trung tuyến)

$\Rightarrow MN\perp MC$ (2).

Từ (1) và (2) => MC // AO.

c/ Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3 cm, OA = 5 cm.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAM có:

$\begin{array}{c}A{M}^2=O{A}^2-O{M}^2\\ A{M}^2=5^2-3^2=16\\ AM=4\left(cm\right)=AN\end{array}$

Gọi H là giao điểm của MN và OA.

$\Rightarrow MN\perp AO$ tại H.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM, đường cao MH có:

$\begin{array}{c}O{M}^2=OH.OA\\ \Rightarrow 3^2=OH.5\\ \Rightarrow OH=\frac{9}{5}\left(cm\right)\\ \Rightarrow AH=OA-OH=\frac{16}{5}\end{array}$

$\begin{array}{c}\Rightarrow M{H}^2=OH.AH=\frac{9}{5}.\frac{16}{5}\\ \Rightarrow MH=\frac{12}{5}\left(cm\right)\end{array}$

OA là trung trực của MN (cmt) $\Rightarrow H$ là trung điểm của MN

$\Rightarrow MN=2MH=\frac{24}{5}\left(cm\right)$.

 

Answer 2

[Nhật Nam]

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy OA⊥MN.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc ^MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

.

⇒ IM là phân giác góc ^NMA.

⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì OM=ON=MI=IN=R.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy ^MON=^MOA+^AON=60o+60o=120o.
Suy ra ^MAN=180o−^MON=60o.
Ngược lại giả sử ^MAN=60o. Suy ra ^MON=180o−^MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên ^MOA=^AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy ^MAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.