a) Chứng tỏ rằng phương trình: mx – 3 = 2m – x – 1 luôn nhận x = 2 làm nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là
một số chính phương lẻ
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Câu 1)
Ta có: \(mx-3=2m-x-1\)
\(\Leftrightarrow xm-3-2m+x+1=0\)
\(\Leftrightarrow m(x-2)+x-2=0\)
\(\Leftrightarrow (m+1)(x-2)=0\)
Để đẳng thức trên đúng với mọi $m$ thì \(x-2=0\Leftrightarrow x=2\)
Do đó với mọi $m$ thì pt nhận $x=2$ là nghiệm
Câu 2:
Gọi hai số chính phương liên tiếp là \(a^2, (a+1)^2\)
Theo đề bài ta phải cm \(A=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2 \) là scp lẻ.
Thật vậy:
\(A=a^2+a^2+2a+1+a^2(a^2+2a+1)\)
\(A=a^4+2a^3+3a^2+2a+1\)
\(A=(a^2)^2+a^2+1+2a^2.a+2a^2.1+2a.1=(a^2+a+1)^2\)
Mà \(a^2+a+1=a(a+1)+1\) lẻ do $a(a+1)$ chẵn.
Do đó $A$ là scp lẻ. Ta có đpcm.
a, \(\Delta=m^2-4\left(-4\right)=m^2+16\)> 0
Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb
b, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)
Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\)
Thay vào ta được \(m^2-2\left(-4\right)=5\Leftrightarrow m^2+3=0\left(voli\right)\)
Bạn ơi, mình có thể hỏi câu c được không ạ? Nếu không được thì không sao, mình cảm ơn câu trả lời của bạn ạ ^-^ chúc bạn một ngày tốt lành nhé.
Gọi 2 số chính phương liên tiếp đó là \(n^2,\left(n+1\right)^2\). Ta có:
\(P=n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)
\(=n^2+n^2+2n+1+n^2\left(n^2+2n+1\right)\)
\(=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\)
Ta có \(\dfrac{P}{n^2}=n^2+2n+3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\)
\(=\left(n+\dfrac{1}{n}\right)^2+2\left(n+\dfrac{1}{n}\right)+1\)
\(=\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)^2\)
\(\Rightarrow P=\left[n\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)\right]^2=\left(n^2+n+1\right)^2=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)
Dễ dàng kiểm chứng được \(2|n\left(n+1\right)\), do đó \(n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ, suy ra đpcm.
Hai số chính phương liên tiếp là \(n^2;\left(n+1\right)^2\)
Theo đề ta có :
\(n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)
\(=n^2+n^2+2n+1+n^4+2n^3+n^2\)
\(=\left(n^4+n^3+n^2\right)+\left(n^3+n^2+n\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=\left(n^2+n+1\right)^2\)
\(=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)
mà \(n\left(n+1\right)⋮2\) (là 2 số tự nhiên liên tiếp)
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ
\(\Rightarrow\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\) là số chính phương lẻ
\(\Rightarrow dpcm\)
Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là k2 và (k+1)2
Ta có:
k2+(k+1)2+k2.(k+1)2
=k2+k2+2k+1+k4+2k3+k2
=k4+2k3+3k2+2k+1
=(k2+k+1)2
=[k(k+1)+1]2 là số chính phương lẻ.
Gọi 2 số chính phương liên tiếp là a2 và (a + 1)2
Ta có: \(A=a^2+\left(a+1\right)^2+a^2\left(a+1\right)^2\)
\(=\left[a\left(a+1\right)\right]^2+2a^2+2a+1\)
\(=\left[a\left(a+1\right)\right]^2+2a\left(a+1\right)+1=\left[a\left(a+1\right)+1\right]^2\)
Ta thấy \(a\left(a+1\right)+1\) là số lẻ nên A là số chính phương lẻ (đpcm)
a, Ta có:
\(\Delta=\left[-\left(m+5\right)\right]^2-4\left(2m+6\right)\\ =m^2+10m+25-8m-24\\ =m^2+2m+1\\ =\left(m+1\right)^2\ge0\)
Vậy pt luôn có 2 nghiệm x1,x2
b, Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+5\\x_1x_2=2m+6\end{matrix}\right.\)
\(x^2_1+x^2_2=13\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=13\\ \Leftrightarrow\left(m+5\right)^2-2\left(2m+6\right)=13\\ \Leftrightarrow m^2+10m+25-4m-12-13=0\\ \Leftrightarrow m^2+6m=0\\ \Leftrightarrow m\left(m+6\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-6\end{matrix}\right.\)
mày lớp mấy
\(a)\) \(Thay\) \(x=2\) \(\text{ vào }\)\(PT:\)
\(2m-3=2m-2-1.\\ \Leftrightarrow2m-3-2m+2+1=0.\)
\(\Leftrightarrow0=0\) (luôn đúng).
\(\Rightarrow\) PT luôn nhận x = 2 làm nghiệm với mọi giá trị của m.