Question

[Trần Thái Dương]

x^2+y^2=z^2 , x,y,z thuộc tập Z

CMR; xyz chia hết cho 60

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

\(x^2+y^2=z^2\)

Công thức tổng quát có dạng: 

\(x=k\left(m^2-n^2\right),y=k2mn,z=k\left(m^2+n^2\right)\)(\(m,n\inℤ\))

\(xyz=k^32mn\left(m^4-n^4\right)\)

- Chứng minh \(xyz\)chia hết cho \(3\):

Nếu \(m,n\)có ít nhất một số chia hết cho \(3\)suy ra \(xyz\)chia hết cho \(3\).

Nếu \(m,n\)đều không chia hết cho \(3\)suy ra \(m^4,n^4\)đều chia cho \(3\)dư \(1\)

suy ra \(m^4-n^4\)chia hết cho \(3\).

Suy ra \(xyz\)chia hết cho \(3\).

- Chứng minh \(xyz\)chia hết cho \(4\): 

Nếu \(m,n\)có ít nhất một số chẵn suy ra \(2mn\)chia hết cho \(4\)

suy ra \(xyz\)chia hết cho \(4\).

Nếu \(m,n\)đều lẻ thì \(m^4,n^4\)đều lẻ nên \(m^4-n^4\)chẵn. 

Suy ra \(xyz\)chia hết cho \(4\).

- Chứng minh \(xyz\)chia hết cho \(5\): 

Nếu \(m,n\)có ít nhất một số chia hết cho \(5\)suy ra \(xyz\)chia hết cho \(5\).

Nếu \(m,n\)đều không chia hết cho \(5\)suy ra \(m^4,n^4\)đều chia cho \(5\)dư \(1\)

suy ra \(m^4-n^4\)chia hết cho \(5\).

Suy ra \(xyz\)chia hết cho \(5\).

Vậy \(xyz\)chia hết cho cả \(3,4,5\)mà \(3,4,5\)đôi một nguyên tố cùng nhau suy ra \(xyz\)chia hết cho \(3.4.5=60\).

Ta có đpcm. 

Suy ra \(xyz\)chia hết cho \(3\).