cho a,b>0 và a+b=5/4 tìm min P=4/a+1/4b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
0
D
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 1
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{1}{a}+a\geq 2\sqrt{\frac{1}{a}.a}=2$
$\frac{1}{4b}+b\geq 2\sqrt{\frac{1}{4b}.b}=1$
$\frac{1}{16c}+c\geq 2\sqrt{\frac{1}{16c}.c}=\frac{1}{2}$
Cộng các BĐT trên lại suy ra:
$M+a+b+c\geq 2+1+\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow M+1\geq 2+1+\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow M\geq \frac{5}{2}$
Vậy $M_{\min}=\frac{5}{2}$
PP
2
J
1
5 tháng 12 2019
3a+4b-3c=4. Tìm GTNN của biểu thức : A = 2a+3b-4c? ... Cho a;b;c là các số không âm thỏa mãn:2a+b=6-3c;3a+4b=3c+4.Tìm min ... T = a −2 b 2 a − b +2 a −3 b 2 a + b. Đọc tiếp. ..... cho a và b là hai số thực thỏa mãn 4a + b = 5ab và 2a>b>0.
13 tháng 1 2023
\(P=\dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(\dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}\right)\left[4\left(a^2+b^2\right)+12ab\right]\ge\left[\sqrt{\dfrac{4}{a^2+b^2}.4\left(a^2+b^2\right)}+\sqrt{\dfrac{3}{ab}.12ab}\right]^2=100\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{100}{4\left(a^2+b^2\right)+12ab}=\dfrac{100}{4\left(a+b\right)^2+4ab}=\dfrac{25}{\left(a+b\right)^2+ab}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{25}{4^2+ab}=\dfrac{25}{16+ab}\) (vì \(a+b\le4\)).
Mặt khác ta có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\dfrac{4^2}{4}=4\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{25}{16+4}=\dfrac{5}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\).
Vậy \(MinP=\dfrac{5}{4}\), đạt tại \(a=b=2\)
CN
0
6 tháng 5 2022
Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)
CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
\(P=\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}=\left(\frac{4}{a}+4a\right)+\left(\frac{1}{4b}+4b\right)-4.\left(a+b\right)\)
\(=\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}=\left(\frac{4}{a}+4a\right)+\left(\frac{1}{4b}+4b\right)-4.\frac{5}{4}\)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
\(P\ge2\sqrt{\frac{4}{a}.4a}+2\sqrt{\frac{1}{4b}.4b}-5\)
\(=2.4+2.1-5=5\)
vậy MINP=5
\(P=\frac{4}{a}+\frac{1}{b}=\left(\frac{4}{a}+4a\right)+\left(\frac{1}{4b}+4b\right)-4a-4b\)
Áp dụng bất đẳng thức cho 2 số nguyên dương \(4a+\frac{4}{a},\frac{1}{4b}+4b>0\)ta đc:
\(4a+\frac{4}{a}\ge8\)
\(\frac{1}{4b}+4b\ge2\)
Và \(\frac{a}{b}=\frac{5}{4}\Rightarrow4\left(a+b\right)=5\)
\(\Rightarrow P\ge5\)