Question

[Admin (a@olm.vn)]

(Quảng Ngãi)

Cho phương trình x² - (3m + 1)x + 2m² + m - 1 = 0 (1) với m là tham số.

a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b/ Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình (1). Tìm m để biểu thức B = x₁² + x₂² - 3x₁x₂ đạt giá trị lớn nhất.

Answer 1

[Ĵ❍ƙĔŔᵛᶰ(*•.¸♡ţęąɱ ƒŗęę ƒįŗę❤☆)]

a, \(x^2-\left(3m+1\right)x+2m^2+m-1=0\)

\(\Delta=\left(3m+1\right)^2-4\left(2m^2+m-1\right)\)

\(=9m^2+6m+1-8m^2-4m+4\)

\(=m^2+2m+1+4\)

\(=\left(m+1\right)^2+4\) \(\ge4\)với \(\forall m\)

\(\Rightarrow\)Phương trình luôn có \(2n_0\)phân biệt với mọi m

Answer 2

[Ĵ❍ƙĔŔᵛᶰ(*•.¸♡ţęąɱ ƒŗęę ƒįŗę❤☆)]

b,

Theo vi-ét :

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=3m+1\\x_1x_2=2m^2+m-1\end{cases}}\)

\(B=x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)

\(=\left(3m+1\right)^2-5\left(2m^2+m-1\right)\)

\(=9m^2+6m+1-10m^2-5m+5\)

\(=-m^2+m+6\)

\(=-\left(m^2-m-6\right)\)

\(=-\left[\left(m-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-6\right]\)

\(=-\left[\left(m-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\right]\)

\(=-\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{25}{4}\)

Vậy GTLN  \(B=\frac{25}{4}\)khi \(-\left(m-\frac{1}{2}\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)