Question

[Nguyễn Hữu Minh]

Cho hình vẽ sau: 

S nằm trong ▲ABK. MG // AK ; BK // WL ; AB // PQ.  MG, PQ và WL đồng quy tại S.

Tính \(2\left(\dfrac{BW}{AB}+\dfrac{GK}{BK}\right)+\dfrac{WS}{BK}+\dfrac{AQ}{AK}\).

Answer 1

[Nguyễn acc 2]

:v nếu hưng thấy thì hưng cũm có thể giúp nhưn mà k thấy thì chịu nhá

Answer 2

[Hoàng Việt Tân]

Tứ giác AMSQ có: AM // SQ ; MS // AQ} gt

⇔ Tứ giác AMSQ là hình bình hành ⇒ AM = SQ

Tứ giác BWSP có: BW // SP ; BP // WS} gt

⇔ Tứ giác BWSP là hình bình hành ⇒ BW = SP

Tứ giác GSLK có: GK // SL ; GS // KL} gt

⇔ Tứ giác GSLK là hình bình hành ⇒ GK = LS

+) \(SQ + SP = PQ(gt) \) trong khi \(AM = SQ ;BW = SP \) 

\(⇔ AM + BW = SQ + SP = PQ\)

+) \(2GK + WS = WS + SL + GK\) (vì GK = LS) \(= WL + GK\) 

Vì ▲ABK có MG // AK; WL // BK và M,W ∈ AB; G ∈ BK; L ∈ AK nên: 

\(+)\frac{WL}{BK} = \frac{AW}{AB} \) (Định lý Talet) 

\(+)\frac{BG}{BK} = \frac{MB}{AB}\) (Định lý Talet) \(⇔\frac{BK - GK}{BK} = \frac{AB - AM}{AB}\)

                                             \(⇔ 1 – \frac{GK}{BK} = 1 – \frac{AM}{AB} \) 

                                             \(⇔ \frac{GK}{BK} = \frac{AM}{AB}\)

Vì ▲ABK có PQ // AB và P ∈ BK; Q ∈ AK nên: \(+) \frac{QK}{AK} = \frac{PQ}{AB} \) (Định lý Talet)

                                                                           \(⇔1 – \frac{QK}{AK} = 1 – \frac{PQ}{AB}\)

                                                                           \(⇔ \frac{AK-QK}{AK} = \frac{AB-PQ}{AB} \)

                                                                           \(⇔ \frac{AQ}{AK} = \frac{AB-PQ}{AB}\)

\(+) 2(\frac{BW}{AB}+\frac{GK}{BK})+\frac{WS}{BK}+\frac{AQ}{AK} = \frac{2BW}{AB}+\frac{2GK}{BK}+\frac{WS}{BK}+\frac{AQ}{AK} \)

                                               \( = \frac{2BW}{AB}+\frac{WL + GK}{BK}+\frac{AQ}{AK}\)

Với \(\frac{GK}{BK} = \frac{AM}{AB} ; \frac{WL}{BK} = \frac{AW}{AB}; \frac{AQ}{AK} = \frac{AB-PQ}{AB}\) , ta có: 

     \(\frac{2BW}{AB}+\frac{WL}{BK}+\frac{GK}{BK}+\frac{AQ}{AK} \) 

\(= \frac{BW + BW}{AB}+\frac{AW}{AB}+\frac{AM}{AB}+\frac{AB - PQ}{AB}\)

\(= \frac{AB + BW + AW + AM + BW – PQ}{AB}\) 

\(= \frac{AB + AB + PQ – PQ}{AB} \)

\(= \frac{2AB}{AB} = 2\)  

➤ \(2(\frac{BW}{AB}+\frac{GK}{BK})+\frac{WS}{BK}+\frac{AQ}{AK}\) \(=2\)