cho a,b,c > 0, abc=1. C/m 1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3) <= 1/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
1
PN
8 tháng 4 2016
Áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho từng cặp số không âm, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\) \(\left(1\right)\)
\(b^2+1\ge2b\) \(\left(2\right)\)
Cộng \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được:
\(a^2+2b^2+1\ge2ab+2b\)
\(\Rightarrow\) \(a^2+2b^2+3\ge2ab+2b+2\)
Vì hai vế của bất đẳng thức trên cùng dấu (do \(a,b,c>0\)) nên ta nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức:
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2ab+2b+2}\) \(\left(1\right)\)
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị \(b\) \(\rightarrow\) \(c\) \(\rightarrow\) \(a\) \(\rightarrow\) \(b\), ta có:
\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\ge\frac{1}{2bc+2c+2}\) \(\left(2\right)\) và \(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\ge\frac{1}{2ca+2a+2}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được:
\(VT\le\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ca+2a+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\) \(\left(\text{*}\right)\)
Mặt khác, xét từng phân thức \(\frac{1}{ab+b+1};\frac{1}{bc+c+1};\frac{1}{ca+a+1}\) kết hợp với giả thiết đã cho, nghĩa là \(abc=1,\) ta có:
\(\frac{1}{ab+b+1};\) \(\frac{1}{bc+c+1}=\frac{abc}{bc+c+abc}=\frac{ab}{ab+b+1}\) và \(\frac{1}{ca+a+1}=\frac{abc}{ca+a+abc}=\frac{bc}{bc+c+1}=\frac{bc}{bc+c+abc}=\frac{b}{ab+b+1}\)
Do đó, \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1\) \(\left(\text{**}\right)\)
Từ \(\left(\text{*}\right)\) và \(\left(\text{**}\right)\) suy ra \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c\)
TN
18 tháng 4 2017
Bài 2:
Từ \(ab+bc+ca=2abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
\(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=2\end{cases}}\)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{x^3}{\left(x-2\right)^2}+\frac{y^3}{\left(y-2\right)^2}+\frac{z^3}{\left(z-2\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)
Ta chứng minh bổ đề \(\frac{x^3}{\left(x-2\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{\left(3x-2\right)^2}{\left(x-2\right)^2}\ge0\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{y^3}{\left(y-2\right)^2}\ge y-\frac{1}{2};\frac{z^3}{\left(z-2\right)^2}\ge z-\frac{1}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}=VP\)
TL
18 tháng 6 2019
Gái xinh review app chất cho cả nhà đây: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618 Link tải app: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618
PA
15 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:
\(a^2+2b^2+3\)
\(=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\)
\(\ge2ab+2b+2\)
Tương tự, ta có: \(b^2+2c^2+3\ge2bc+2c+2\) và \(c^2+2a^2+3\ge2ac+2a+2\)
\(VT=\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\)
\(\le\dfrac{1}{2ab+2b+2}+\dfrac{1}{2bc+2c+2}+\dfrac{1}{2ac+2a+2}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ac+a+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{abc}{bc+c+abc}+\dfrac{abc}{ac+a^2bc+abc}\right)\) (Thay abc = 1)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{ab}{b+1+ab}+\dfrac{b}{1+ab+b}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1+ab+b}{ab+b+1}\)
\(=\dfrac{1}{2}=VP\left(\text{đ}pcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
16 tháng 6 2018
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
Tương tự ta cũng có:
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
Mà: \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\)\(\frac{ab}{ab^2+abc+ab}+\frac{b}{bca+ab+b}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
+) chứng minh 1/ab+b+1 + 1/bc+c+1 + 1/ac+a+1=1
<=> abc/ab+b+abc + abc/bc+c+abc + 1/ac+a+1
<=> ac/ac+a+1 + ab/b+1+ab + 1/ac+a+1
<=> ac+a+1/ac+a+1
<=> 1
+) xét: a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2 >= 2ab+2b+2<=1/2(ab+b+1) (1)
chứng minh tương tự:1/ b^2+2c^2+3 <= 1/2(bc+c+1) (2)
1/ c^2+2a^2+3 <= 1/2(ac+a+1) (3)
cộng các vế của (1),(2),(3) ta duoc: 1/(a^2+2b^2+3) + 1/(b^2+2c^2+3) + 1/(c62+2a^2+3) <= 1/2.(1/ab+b+1 + 1/bc+c+1 + 1/ac+a+1)=1/2 (đpcm)
mình làm rồi, bạn vào đây tham khảo nha: http://olm.vn/hoi-dap/question/559729.html