K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
PL
1
Những câu hỏi liên quan
TN
7 tháng 10 2016
\(Gt\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
\(VT=\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)
\(=\frac{\frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}+\frac{\frac{1}{y}}{\sqrt{\frac{1}{y^2}+1}}+\frac{\frac{1}{z}}{\sqrt{\frac{1}{z^2}+1}}\)
\(=\frac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\sqrt{\frac{2a}{\left(a+b\right)}\cdot\frac{2a}{\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{2b}{\left(b+a\right)}\cdot\frac{b}{2\left(b+c\right)}}\)\(+\sqrt{\frac{2c}{\left(c+a\right)}\cdot\frac{c}{2\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{\frac{2a}{a+b}+\frac{2a}{a+c}+\frac{2b}{a+b}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}+\frac{2c}{c+a}+\frac{c}{2\left(c+b\right)}}{2}=\frac{9}{4}\)
2 tháng 10 2019
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a;b;c>0\end{cases}}\)
Và \(\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}+\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2+2a^2}}+\frac{ca}{\sqrt{c^2+a^2+2b^2}}\le\frac{1}{2}\)
Ta có :
\(\frac{ab}{a^2+b^2+2c^2}=\frac{2ab}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(a^2+b^2+2c^2\right)}}\)
\(\le\frac{2ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại roouf cộng theo vế :
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{9}\)
Chúc bạn học tốt !!!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2019
Lời giải:
\(P=(\sqrt{x}+1)-\frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+(\sqrt{y}+1)-\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+(\sqrt{z}+1)-\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\)
\(=(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+3)-\left[\frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\right]\)
\(=6-\left[\frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\right](1)\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\leq \frac{y(\sqrt{x}+1)}{2\sqrt{y}}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{2\sqrt{z}}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})}{2}\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: \((\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})\leq \frac{1}{3}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\)
\(\Rightarrow \frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\leq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+\frac{1}{3}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}{2}=3(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow P\geq 6-3=3\)
Vậy \(P_{\min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
12 tháng 12 2015
cm bai toan phu
a3+b3\(\ge ab\left(a+b\right)\)
ta co \(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
=>bai toan phu dung
=>\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
=>a3+b3+1\(\ge ab\left(a+b+c\right)\)
=>A\(\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{\left(x+y+z\right)}+\frac{x}{\left(x+y+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y+z\right)}=1\)
MaxA=1<=>x=y=z=1
7 tháng 8 2019
a) \(\frac{x}{5}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\Rightarrow\frac{x}{5}=\frac{2y}{6}=\frac{z}{4}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :
\(\frac{x}{5}=\frac{2y}{6}=\frac{z}{4}=\frac{x-2y+z}{5-6+4}=\frac{6}{3}=2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{5}=2\\\frac{2y}{6}=2\\\frac{z}{4}=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5.2\\2y=6.2\\z=4.2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10\\y=6\\z=8\end{matrix}\right.\)
Vậy : \(\left(x,y,z\right)=\left(10,6,8\right)\)
b) \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\Rightarrow\frac{x^2}{4}=\frac{2y^2}{18}=\frac{z^2}{16}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :
\(\frac{x^2}{4}=\frac{2y^2}{18}=\frac{z^2}{16}=\frac{x^2-2y^2+z^2}{4-18+16}=\frac{8}{2}=4\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=16\\y^2=36\\z^2=64\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm4\\y=\pm6\\z=\pm8\end{matrix}\right.\)
Vậy : \(\left(x,y,z\right)\in\left\{\left(-4,-6,-8\right),\left(4,6,8\right)\right\}\)
5 tháng 4 2019
Bài 2 :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2018}\)
Mà \(2018=a+b+c\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{c-a-b-c}{c\left(a+b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{-\left(a+b\right)}{c\left(a+b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)=-ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)+ab\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)=0\)
TH1 : \(a+b=0\Leftrightarrow a=-b\)
\(M=\frac{1}{a^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2014}}=\frac{1}{-b^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2014}}=\frac{1}{c^{2014}}\)
Mà \(a+b+c=2018\)
\(\Leftrightarrow-b+b+c=2018\)
\(\Leftrightarrow c=2018\)
Khi đó \(M=\frac{1}{2018^{2017}}\)
Các trường hợp còn lại tương tự
Kết quả cuối cùng : \(M=\frac{1}{2018^{2017}}\)
6 tháng 4 2019
Câu hỏi của nguyễn thị phượng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo bài 2 ở link này nhé!
\(2=\frac{2}{1}\Leftrightarrow\frac{2}{1}=\frac{x}{2}=\frac{6}{y}=\frac{z}{5}=\frac{8}{t}\)
*Xét \(\frac{2}{1}=\frac{x}{2}\)
\(\frac{2}{1}=\frac{x}{2}\Leftrightarrow\frac{2\cdot2}{1\cdot2}=\frac{x}{2}\Leftrightarrow\frac{4}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow x=4\)
*Xét\(\frac{2}{1}=\frac{6}{y}\)
\(\frac{2}{1}=\frac{6}{y}\Leftrightarrow\frac{2\cdot3}{1\cdot3}=\frac{6}{y}\Leftrightarrow\frac{6}{3}=\frac{6}{y}\Rightarrow y=3\)
*Xét \(\frac{2}{1}=\frac{z}{5}\)
\(\frac{2}{1}=\frac{z}{5}\Leftrightarrow\frac{2\cdot5}{1\cdot5}=\frac{z}{5}\Leftrightarrow\frac{10}{5}=\frac{z}{5}\Rightarrow z=10\)
*Xét \(\frac{2}{1}=\frac{8}{t}\)
\(\frac{2}{1}=\frac{8}{t}\Leftrightarrow\frac{2\cdot4}{1\cdot4}=\frac{8}{t}\Leftrightarrow\frac{8}{4}=\frac{8}{t}\Rightarrow t=4\)
Vậy giá trị \(x,y,z,t\)thỏa mãn là\({\begin{cases}x=4\\y=3\\z=10\\t=4\end{cases}}\)