Cho a \(\ge\) 2 ; b \(\ge\) 2 . Chứng minh rằng : ab \(\ge\) a + b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
LT
0
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 6 2020
a/ \(\Leftrightarrow a^2-b^2+c^2\ge a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc\)
\(\Leftrightarrow b^2-ab+ac-bc\le0\)
\(\Leftrightarrow b\left(b-a\right)-c\left(b-a\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(b-a\right)\le0\) (luôn đúng do \(a\ge b\ge c\))
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\end{matrix}\right.\)
b/ Tương tự như câu trên:
\(a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c\right)^2-d^2=\left(a-b+c-d\right)\left(a-b+c+d\right)\ge\left(a-b+c-d\right)^2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 5 2020
Lời giải:
Thực chất đề bài chỉ cần điều kiện $ab\geq 1$ là đủ rồi bạn.
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+2)(ab+1)\geq 2(a^2+1)(b^2+1)\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\)
(luôn đúng với mọi $ab\geq 1$)
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $ab=1$ hoặc $a=b$
LM
0
6 tháng 5 2022
Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)
CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
16 tháng 7 2018
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(a^3b^2-a^2b^3+b^3c^2-c^3b^2+c^3a^2-c^2a^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b+b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+c^2a^2\left(b-a\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-c^2a^2\right)\left(a-b\right)+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(b^2-c^2\right)\left(a-b\right)+c^2\left(b^2-a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2\left(b+c\right)-c^2\left(a+b\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+a^2c-c^2a-c^2b\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[a\left(ab-c^2\right)+c\left(a^2-bc\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\ge b\ge c\ge0\)
BF
16 tháng 7 2018
cảm ơn bạn nhá, bạn trả lời giúp mình mấy câu hỏi về BĐT còn lại của mik đc ko? cảm ơn bn nhiều!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2019
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a-4;b-5;c-6\right)\) \(\Rightarrow x;y;z\ge0\)
\(\left(x+4\right)^2+\left(y+5\right)^2+\left(z+6\right)^2=90\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+8x+10y+12z=13\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz+12\left(x+y+z\right)=13+2\left(xy+xz+yz\right)+4x+2y\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+12\left(x+y+z\right)=13+2\left(xy+xz+yz\right)+2\left(2x+y\right)\ge13\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+12\left(x+y+z\right)-13\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+13\right)\left(x+y+z-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge1\)
\(\Leftrightarrow a-4+b-5+c-6\ge1\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge16\)
\(\Rightarrow P_{min}=16\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(4;5;7\right)\)
NT
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 3 2022
Lời giải:
BĐT \(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+2)(ab+1)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)$
$\Leftrightarrow a^3b+a^2+ab^3+b^2+2ab+2\geq 2a^2b^2+2a^2+2b^2+2$
$\Leftrightarrow a^3b+ab^3+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2$
$\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0$
$\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(ab-1)\geq 0$
Điều này luôn đúng với mọi $ab\geq 1$
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ hoặc $ab=1$