Cho tam giác ABC vuông tại A. AH vuông góc với BC tại H.Lấy M thuộc BC(M khác B,C,H).ME vuông góc với AB tại E,MF vuông góc với ACC tạ F. 1, CM: A,F,H,E nằm trên 1 đường tròn 2, CM: BE.CF=ME.MF 3, Giả sử góc MAC=45độ.CM:BF/CF=HB/HC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)Xét tứ giác EMAF có 3 goc vg => AEMF la hcn => các điểm A,E,F,H cùng nằm trên một đường tròn
2)
a) Xét (O) có
ΔABC nội tiếp đường tròn(A,B,C∈(O))
BC là đường kính của (O)(gt)
Do đó: ΔABC vuông tại A(Định lí)
Ta có: BC=BH+HC(H nằm giữa B và C)
mà BH=9cm(gt)
và CH=16cm(gt)
nên BC=9+16=25(cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(AB^2=BH\cdot BC\)
\(\Leftrightarrow AB^2=9\cdot25=225\)
hay AB=15(cm)
Vậy: Khi BH=9cm và CH=16cm thì AB=15cm
b) Xét tứ giác AEMF có
\(\widehat{EAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AB, F∈AC)
\(\widehat{MFA}=90^0\)(MF⊥AC)
\(\widehat{AEM}=90^0\)(ME⊥AB)
Do đó: AEMF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒MF=AE(Hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEMF)
Ta có: EM⊥AB(gt)
AC⊥AB(gt)
Do đó: EM//AC(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔABC có
E∈AB(gt)
M∈BC(gt)
EM//AC(cmt)
Do đó: \(\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{BM}{MC}\)(Định lí Ta lét)
⇒\(\dfrac{BE}{MF}=\dfrac{BM}{MC}\)
hay \(BE\cdot MC=BM\cdot MF\)(đpcm)
Gọi G là trung điểm của AM
Ta có: ΔAHM vuông tại M(AH⊥HM)
mà HG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM(G là trung điểm của AM)
nên \(HG=\dfrac{AM}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AG=GM=\dfrac{AM}{2}\)(G là trung điểm của AM)
nên HG=AG=GM(1)
Ta có: ΔAEM vuông tại E(ME⊥AB tại E)
mà EG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM(G là trung điểm của AM)
nên \(EG=\dfrac{AM}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(GA=GM=\dfrac{AM}{2}\)(G là trung điểm của AM)
nên EG=GA=GM(2)
Từ (1) và (2) suy ra GM=GA=GE=GH
hay A,E,H,M cùng thuộc một đường tròn(đpcm)
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(AE\cdot AB=AH^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AF\cdot AC=AH^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
hay \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Xét ΔAEF và ΔACB có
\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)(cmt)
\(\widehat{EAF}\) chung
Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔACB(c-g-c)
Suy ra: \(\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)
b) Xét ΔMEB và ΔMCF có
\(\widehat{MEB}=\widehat{MCF}\left(=\widehat{AEF}\right)\)
\(\widehat{M}\) chung
Do đó: ΔMEB\(\sim\)ΔMCF(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{ME}{MC}=\dfrac{MB}{MF}\)
hay \(ME\cdot MF=MB\cdot MC\)
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(AE\cdot AB=AH^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AF\cdot AC=AH^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
hay \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Xét ΔAEF và ΔACB có
\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)(cmt)
\(\widehat{EAF}\) chung
Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔACB(c-g-c)
Suy ra: \(\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)(hai góc tương ứng)
a: Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
=>CE\(\perp\)AB
Xét (O) có
ΔBFC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBFC vuông tại F
=>BF\(\perp\)AC
XétΔABC có
CE,BF là đường cao
CE cắt BF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC
b: Xét ΔAEC vuông tại E và ΔAFB vuông tại F có
\(\widehat{A}\) chung
Do đó: ΔAEC ~ΔAFB
=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AC}{AB}\)
=>\(AE\cdot AB=AC\cdot AF;\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
c: Xét ΔAEF và ΔACB có
\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
\(\widehat{FAE}\) chung
Do đó: ΔAEF~ΔACB
=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)
d: Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)
=>AEHF là tứ giác nội tiếp
=>A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn