Question

[Hàn Minh Nguyệt]

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đtròn tâm O. Vẽ các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Kẻ đường kính BK của (O). chứng minh rằng:

a. BCEF là tứ giác nội tiếp.

b. AHCK là hình bình hành.

c. Đường tròn đường kính AC cắt BE ở M. Đường tròn đường kính AB cắt CF ở N. Chứng minh AM = AN

Answer 1

[🏴‍☠️star↭boy★vn🏴‍☠️]

c) Vì tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (cmt)

=> $\widehat{FBC}+\widehat{FEC}={180}^o$ (t/c tg nt)

mà $\widehat{FEC}+\widehat{FEA}={180}^o$ (2 góc kề bù)

=> $\widehat{FBC}=\widehat{FEA}$ hay $\widehat{ABC}=\widehat{AEF}$

Xét $\Delta$ABC và $\Delta$AEF có:

$\widehat{BAC}$ chung

$\widehat{ABC}=\widehat{AEF}$ (cmt)

=> ​$\Delta$​ABC đồng dạng với $\Delta$AEF (g.g)

=> $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$ (ĐN 2 tam giác đồng dạng)

=> $AE\cdot AC=AF\cdot AB$ (1)

Vì $\widehat{ANB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB (gt)

=> $\widehat{ANB}={90}^o$ (hệ quả góc nội tiếp)

=> $\Delta$ANB vuông tại N mà NF $\perp$ AB (CF $\perp$ AB)

=> $A{N}^2=AF\cdot AB$ (2) (hệ thức lượng tam giác vuông)

Vì $\widehat{AMC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB (gt)

=> $\widehat{AMC}={90}^o$ (hệ quả góc nội tiếp)

=> $\Delta$AMC vuông tại N mà ME $\perp$ AC (BE $\perp$ AC)

=> $A{M}^2=AE\cdot AC$ (3) (hệ thức lượng tam giác vuông)

Từ (1), (2), (3) => AM = AN