chứng minh rằng nếu x-y+z=0 thì xy+yz-zx lớn hơn hoặc bằng 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
L
2
21 tháng 10 2018
a. Ta có : x - y = 0 \(\Rightarrow\)x = y
Ta có : xy = xx ( vì x = y) = x^2
Mà x^2 \(\ge\)0 với mọi x nên xy \(\ge\)0 với mọi x.
2
21 tháng 10 2018
a) Ta có x-y=0 => x=y
Ta có xy=x.x=x2 > 0 (dấu = <=> x=y=0)
b) x-y+z=0 => x=y-z.Theo kết quả câu a ta có: x(y-z) > 0 => xy-xz > 0 (1)
Tương tự: x-y+z=0 => y=x+z => y(x+z) > 0 => xy+yz > 0 (2)
x-y+z=0 => z=y-x => z(y-x) > 0 => zy-zx > 0 (3)
Cộng từng vế của bất đẳng thức (1),(2),(3) ta đc 2(xy+yz-zx) > 0
Do đó xy+yz-zx > 0 (dấu = <=> x=y=z=0)
Good luck
10 tháng 1 2017
a/ a2 + b2 + c2 \(\ge\)ab + bc + ca
<=> 2(a2 + b2 + c2) \(\ge\)2(ab + bc + ca)
<=> (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2 \(\ge0\)
<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 \(\ge0\) (đúng)
=> ĐPCM
b/ a2 + b2 + c2 \(\ge\) 2ab - 2ac + 2bc
<=> a2 + b2 + c2 + 2( - ab + ac - bc)\(\ge\) 0
<=> (a - b + c)2 \(\ge0\)(đúng)
=> ĐPCM
LT
1
T
12 tháng 12 2019
Giả sử z = min{x,y,z} \(\Rightarrow4=x+y+z+xyz\ge z^3+3z\Leftrightarrow\left(z-1\right)\left(z^2+z+4\right)\le0\Rightarrow z\le1\)(*)
Chọn t thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}x+y+z+xyz=2t+z+t^2z\\2t+z+t^2z=4\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-2t=\left(t^2-xy\right)z\left(1\right)\\2t+z+t^2z=4\left(2\right)\end{cases}}\)
Giả sử \(t^2< xy\Rightarrow2t>x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow t^2>xy\) (mâu thuẫn với giả sử)
Vậy \(t^2\ge xy\Rightarrow x+y\ge2t\). Đặt P = f(a;b;c). Xét hiệu:
\(f\left(x;y;z\right)-f\left(t;t;z\right)=z\left(x+y-2t\right)-\left(t^2-xy\right)\)
\(=z^2\left(t^2-xy\right)-\left(t^2-xy\right)=\left(z^2-1\right)\left(t^2-xy\right)\le0\)
Vậy: \(P=f\left(x;y;z\right)\le f\left(t;t;z\right)=t^2+2tz\)
Từ \(\left(2\right)\Rightarrow z=\frac{\left(4-2t\right)}{t^2+1}.\text{Do }z\ge0\Rightarrow4-2t\ge0\Rightarrow t\le2\)
Mặc khác do (*): \(\Rightarrow4=2t+z+t^2z\le t^2+2t+1\Rightarrow\left(t+3\right)\left(t-1\right)\ge0\Rightarrow2\ge t\ge1\)
Vậy ta tìm max của: \(f\left(t;t;z\right)=f\left(t;t;\frac{4-2t}{t^2+1}\right)=t^2+\frac{2t\left(4-2t\right)}{t^2+1}\)
Dễ thấy hàm số này đồng biến suy ra \(f\left(t;t;\frac{4-2t}{t^2+1}\right)\) đạt max khi t = 2. Khi đó \(P=f\left(a;b;c\right)\le f\left(t;t;\frac{4-2t}{t^2+1}\right)\le4\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị.
P/s: em hết cách rồi nên đành chơi kiểu này:(
TV
2
10 tháng 11 2016
Ta có : x - y = 0 => x = y
Vì x = y => xy = x2 = y2 ≥ 0
=> xy ≥ 0 ( đpcm )
13 tháng 7 2017
Ta có :
\(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{zx}{z+x}=\frac{xyz}{z\left(x+y\right)}=\frac{xyz}{x\left(y+z\right)}=\frac{xyz}{y\left(x+z\right)}\)
\(\Rightarrow z\left(x+y\right)=x\left(y+z\right)=y\left(z+x\right)\)
Từ \(z\left(x+y\right)=x\left(y+z\right)\Leftrightarrow xz+yz=xy+xz\Leftrightarrow yz=xy\Rightarrow x=z\) (1)
Từ \(x\left(y+z\right)=y\left(x+z\right)\Leftrightarrow xy+xz=xy+yz\Leftrightarrow xz=yz\Rightarrow x=y\) (2)
Từ \(z\left(x+y\right)=y\left(z+x\right)\Leftrightarrow xz+yz=yz+xy\Leftrightarrow xz=xy\Rightarrow z=y\) (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) \(\Rightarrow x=y=z\) (đpcm)
LA
2
M
15 tháng 8 2018
Ta có : \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2.\)
<=> \(x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2-x^2-y^2-z^2=0\)
<=> \(2xy+2xz+2yz=0\)
<=> \(2.\left(xy+xz+yz\right)=0\)
<=> \(xy+xz+yz=0\)
Vậy_
BD
15 tháng 8 2018
Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+xz+yz\right)=x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(xy+xz+yz\right)=0\)
\(xy+xz+yz=0\left(đpcm\right)\)
LT
0
Lời giải:
Khi $x-y+z=0\Rightarrow y=x+z$. Thay vào biểu thức $xy+yz-xz$ thì:
$xy+yz-xz=x(x+z)+(x+z)z-xz=x^2+xz+z^2=x^2+\frac{xz}{2}+\frac{xz}{2}+\frac{z^2}{4}+\frac{3}{4}z^2$
$=(x+\frac{z}{2})^2+\frac{3}{4}z^2$
Dễ thấy $(x+\frac{z}{2})^2\geq 0; \frac{3}{4}z^2\geq 0$ với mọi $x,y,z$ nên $xy+yz-xz\geq 0$
Ta có đpcm.