Question

[Nguyen Khoi Nguyen]

Cho a,b>0 thỏa mãn \(2b-ab-4\ge0\)  Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T=\frac{a^2+2b^2}{ab}\)

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Theo giả thiết, ta có: \(2b-ab-4\ge0\Rightarrow2b\ge ab+4\ge4\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{b}{\sqrt{ab}}\ge2\Rightarrow\frac{b}{a}\ge4\)

Xét \(\frac{1}{T}=\frac{ab}{a^2+2b^2}=\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}}=\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{16a}+\frac{31b}{16a}}\le\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{31}{16}.4}=\frac{4}{33}\)

\(\Rightarrow T\ge\frac{33}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 4