Cho \(x^6+y^6+z^6=3\) và \(x;y;z>0\)
Chứng minh rằng:
\(\dfrac{x^3}{yz}+\dfrac{y^3}{zx}+\dfrac{z^3}{xy}\ge x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
0
UK
1 tháng 3 2019
Đặt \(x^3=a,y^3=b,z^3=c\Rightarrow abc=1\)
\(P=\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta chứng minh bổ đề sau
\(\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{a+b}{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+2ab^2+2a^2b+b^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Sử dụng bổ đề ta được
\(P\ge\dfrac{a+b}{3}+\dfrac{b+c}{3}+\dfrac{c+a}{3}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge\dfrac{2.3\sqrt[3]{abc}}{3}=2\)
DL
1
LH
12 tháng 12 2018
sao lại chai hết cho 6 ????????
hả????????????????
hả?????????????????????????
29 tháng 11 2016
Học hằng đẳng thức ni chưa a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
Nếu rồi thì giải như sau
x+y+z=0 suy ra x3+y3+z3=3xyz
tương tự \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=3\(\frac{1}{xyz}\)
M=\(\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz}\);M=xyz
Đề cho \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=0 làm chi vậy bạn
26 tháng 12 2020
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)
CM : \(x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3=3x^2y^2z^2\)
CM: \(x+y+z=0\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Rightarrow\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)}{3xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz}=xyz\)
10 tháng 2 2016
bài 1 : a,ta có 3/x-1 =4/y-2=5/z-3 => x-1/3=y-2/4=z-3/5
áp dụng .... => x-1+y-2+z-3 / 3+4+5 = x+y+z-1-2-3/3+4+5 = 12/12=1
do x-1/3 = 1 => x-1 = 3 => x= 4 ( tìm y,z tương tự
24 tháng 3 2021
Bài 1:
a) Ta có: 3/x - 1 = 4/y - 2 = 5/z - 3 => x - 1/3 = y - 2/4 = z - 3/5 áp dụng ... =>x - 1 + y - 2 + z - 3/3 + 4 + 5 = x + y + z - 1 - 2 - 3/3 + 4 + 5 = 12/12 = 1 do x - 1/3 = 1 => x - 1 = 3 => x = 4 ( tìm y, z tương tự )
O
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
\(P=\dfrac{1}{12}.3x.2y.2x\le\dfrac{1}{12}.\dfrac{1}{27}\left(3x+2y+2z\right)^3\)
\(P\le\dfrac{1}{324}\left(x+24\right)^3\le\dfrac{1}{324}.\left(3+24\right)^3=\dfrac{243}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(3;\dfrac{9}{2};\dfrac{9}{2}\right)\)
17 tháng 3 2023
a: 3x=7y
=>x/7=y/3=(x-y)/(7-3)=-16/4=-4
=>x=-28; y=-12
b: x/6=y/5
=>x/6=2y/10=(x+2y)/(6+10)=20/16=5/4
=>x=30/4=15/2; y=25/4
c: Áp dụng tính chất của DTSBN, ta được:
\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{2x+3y+5z}{2\cdot2+3\cdot\left(-3\right)+5\cdot5}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}\)
=>x=3/5; y=-9/10; z=3/2
d: x/2=y/3
=>x/8=y/12
y/4=z/5
=>y/12=z/15
=>x/8=y/12=z/15
Áp dụng tính chất của DTSBN, ta được:
\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}=\dfrac{x+y-z}{8+12-15}=\dfrac{10}{5}=2\)
=>x=16; y=24; z=30
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
26 tháng 11 2019
\(\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}=\frac{x+y-z}{4+5-6}=\frac{x+y-z}{3}\Rightarrow x+y-z=\frac{3x}{4}\)
\(\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}=\frac{x}{4}=\frac{2y}{10}=\frac{z}{6}=\frac{x+2y-z}{4+10-6}=\frac{x+2y-z}{8}\Rightarrow x+2y-z=\frac{8x}{4}=2x\)
\(B=\frac{x+y-z}{x+2y-z}=\frac{\frac{3x}{4}}{2x}=\frac{3x}{4.2x}=\frac{3}{8}\)
Áp dụng BĐT cosi ta có:
`x^6+y^6+z^6>=3root{3}{x^6y^6z^6}=3x^2y^2z^2`
`=>3x^2y^2z^2<=3`
`=>x^2y^2z^2<=1`
`=>xyz<=1`
`=>(x^3)/(yz)+(y^3)/(zx)+(z^3)/(xy)`
`=(x^4)/(xyz)+(y^4)/(xyz)+(z^4)/(xyz)>=x^4+y^4+z^4(@)`
Áp dụng BĐT bunhia với 2 cặp số `(x^2,y^2,z^2),(x,y,z)`
`=>(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=(x^3+y^3+z^3)^3`
Mà `(x^3+y^3+z^3)^2>=3(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)`
`=>(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=3(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)(@@)`
Áp dụng BĐT cosi ta có:
`x^6+1+1>=3root{3}{x^6}=3x^2`
`y^6+1+1>=3y^2`
`z^6+1+1>=3z^2`
`=>x^6+y^6+z^6+6>=3(x^2+y^2+z^2)`
`=>9>=3(x^2+y^2+z^2)`
`=>x^2+y^2+z^2<=3`
Kết hợp với `(@@)`
`=>(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=(x^2+y^2+z^2)(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)`
`=>x^4+y^4+z^4>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3`
Kếp hợp với `(@)`
`=>(x^3)/(yz)+(y^3)/(zx)+(z^3)/(xy)>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3`
Dấu = xảy ra khi `x=y=z=1`
Học tốt nha ~.~