Question

[nguyễn anh thư]

chứng minh 942⁶⁰- 351³⁷ chia hết cho 5

99⁵- 98⁴ + 97³ - 96² chia hết cho 2 và 5

Answer 1

[Akai Haruma]

1/

$942^2\equiv -1\pmod 5$

$\Rightarrow 942^{60}=(942^2)^{30}\equiv (-1)^{30}\equiv 1\pmod 5$

$351\equiv 1\pmod 5\Rightarrow 351^{37}\equiv 1^{37}\equiv 1\pmod 5$

$\Rightarrow 942^{60}-351^{37}\equiv 1-1\equiv 0\pmod 5$

$\Rightarrow 942^{60}-351^{37}$ chia hết cho 5.

Answer 2

[Akai Haruma]

2/

$99^5$ lẻ

$98^4$ chẵn 

$\Rightarrow 99^5-98^4$ lẻ.

$97^3$ lẻ

$96^2$ chẵn 

$\Rightarrow 97^3-96^2$ lẻ.

$\Rightarrow 99^5-98^4+97^3-96^2$ là tổng của hai số lẻ, nên là số chẵn, hay $99^5-98^4+97^3-96^2$ chia hết cho 2.

Mặt khác:

$99\equiv -1\pmod 5\Rightarrow 99^5\equiv (-1)^5\equiv 1\pmod 5$

$98\equiv -2\pmod 5\Rightarrow 98^4\equiv (-2)^4\equiv 2^4\pmod 5$

$97\equiv 2\pmod 5\Rightarrow 97^3\equiv 2^3\pmod 5$

$96\equiv 1\pmod 5\Rightarrow 96^2\equiv 1^2\equiv 1\pmod 5$

Do đó:

$99^5-98^4+97^3-96^2\equiv 1-2^4+2^3-1\equiv -8\equiv 2\pmod 5$

Do đó $99^5-98^4+97^3-96^2$ không chia hết cho 5.