Cho a,b là các só thực dương thỏa mãn a+b=2. Tìm GTNN của
A= \(a^3+b^3+\dfrac{6}{a^2+b^2}+3ab\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VG
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
Bạn tham khảo:
Cho hai số thực a;b thay đổi thỏa mãn điều kiện \(a b\ge1\) và \(a>0\) Tìm GTNN của \(A=\frac{8a^2 b}{4a} b^2\) - Hoc24
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 5 2021
\(P=a^2-2a+b^2-2b+c^2-2c+3\)
\(P=\left(a^2+\dfrac{9}{4}\right)+\left(b^2+4\right)+\left(c^2+\dfrac{25}{4}\right)-2a-2b-2c-\dfrac{19}{2}\)
\(P\ge3a+4b+5c-2a-2b-2c-\dfrac{19}{2}\)
\(P\ge a+2b+3c-\dfrac{19}{2}=13-\dfrac{19}{2}=\dfrac{7}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};2;\dfrac{5}{2}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2022
Đặt \(\left(a;2b;3c\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=3\)
\(Q=\dfrac{x+1}{1+y^2}+\dfrac{y+1}{1+z^2}+\dfrac{z+1}{1+x^2}\)
Ta có:
\(\dfrac{x+1}{1+y^2}=x+1-\dfrac{\left(x+1\right)y^2}{1+y^2}\ge x+1-\dfrac{\left(x+1\right)y^2}{2y}=x+1-\dfrac{\left(x+1\right)y}{2}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y+1}{1+z^2}\ge y+1-\dfrac{\left(y+1\right)z}{2}\) ; \(\dfrac{z+1}{1+x^2}\ge z+1-\dfrac{\left(z+1\right)x}{2}\)
Cộng vế:
\(Q\ge\dfrac{x+y+z}{2}+3-\dfrac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\)
\(Q\ge\dfrac{x+y+z}{2}+3-\dfrac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\dfrac{3}{2}+3-\dfrac{9}{6}=3\)
\(Q_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}\right)\)
Ta có: \(A=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+\dfrac{6}{a^2+b^2}+3ab\)
\(=2\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{6}{a^2+b^2}+ab\)
\(=\left[\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{6}{a^2+b^2}\right]+\dfrac{a^2+b^2}{2}+ab\)
\(\ge2\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right).\dfrac{6}{a^2+b^2}}+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=2.3+\dfrac{2^2}{2}=8\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ a=b=1