cho 3 số a,b,c dương và abc=1\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{b^2}{a}+\frac{c}{b}^2+\frac{a^2}{c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
M
7 tháng 9 2016
câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m
16 tháng 8 2019
Làm tạm một câu rồi đi chơi, lát làm cho.
4)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
2 tháng 7 2019
\(\sum\)\(\frac{a}{1+a^2}\)\(\le\)\(\sum\)\(\frac{a}{2a}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
\(VT=\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
2 tháng 7 2019
sao olm ko hiện \(\sum\) ra nhỉ ? thoi mk ghi lại v
\(\frac{a}{1+a^2}\le\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\)
tương tự 2 cái kia cộng lại t có bđt cần cm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 5 2019
Về ý tưởng để làm thì chẳng có gì khác, chẳng qua bạn làm vắn tắt tuyệt đối nên nó mới thành 3 dòng :)))))
8 tháng 5 2019
da nhung cach phan tich cua co hop li hon cach cua em nhieu
18 tháng 7 2020
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
+) cm: \(\frac{1}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)
\(\frac{1}{b^2+1}\ge1-\frac{b}{2}\)
\(\frac{1}{c^2+1}\ge1-\frac{c}{2}\)
Cộng theo vế:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge3-\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
NN
6 tháng 7 2019
\(\frac{3}{2}\le\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
Đặt: b + c = x
a + c = y
a + b = z
Ta có: x + y - z = b + c + a + c - a - b = 2c
\(\frac{x+y-z}{2}=c\)
Tương tự: \(\frac{x+z-y}{2}=b\)
\(\frac{z+y-x}{2}=a\)
Khi đó: VP \(\ge\) \(\frac{z+y-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
VP \(\ge\) \(\frac{z+y}{2x}-\frac{x}{2x}+\frac{x+z}{2y}-\frac{y}{2y}+\frac{x+y}{2z}-\frac{z}{2z}\)
VP \(\ge\) \(\frac{z+y}{2x}-\frac{1}{2}+\frac{x+z}{2y}-\frac{1}{2}+\frac{x+y}{2z}-\frac{1}{2}\)
VP \(\ge\) \(\frac{z+y}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}-\frac{3}{2}\)
VP \(\ge\) \(\frac{1}{2}.\left(\frac{z+y}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\right)-\frac{3}{2}\)
VP \(\ge\) \(\frac{1}{2}.\left(\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)-\frac{3}{2}\)
Ta có: \(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{z^2}{x\text{z}}+\frac{x^2}{x\text{z}}\ge\frac{2xz}{x\text{z}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xz+z^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-z\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
\(\Rightarrow\) \(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2\)
Tương tự: \(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge2\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)
\(\Rightarrow\)VP\(\ge\)\(\frac{1}{2}.6-\frac{3}{2}\)
VP\(\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{3}{2}\le\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
15 tháng 10 2017
bài 2
(bài này là đề thi olympic Toán,Ireland 1997),nhưng cũng dễ thôi
Giả sử ngược lại \(a^2+b^2+c^2< abc\)
khi đó \(abc>a^2+b^2+c^2>a^2\)nên \(a< bc\)
Tương tự \(b< ac,c< ab\)
Từ đó suy ra :\(a+b+c< ab+bc+ac\left(1\right)\)
mặt khác ta lại có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)nên
\(abc>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow abc>ab+ac+bc\left(2\right)\)
Từ (1),(2) ta có\(abc>a+b+c\)(trái với giả thuyết)
Vậy bài toán được chứng minh
15 tháng 10 2017
3)để đơn giản ta đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\).Khi đó \(x,y,z>0\)
và \(xy+yz+xz\ge1\)
ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng
\(2x+3y+6z\ge6,2y+3z+6x\ge6,2z+3x+6y\ge6\)
Giả sử khẳng định này sai,tức là có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên sai.Không mất tính tổng quát,ta giả sử
\(2x+3y+6z< 6\)và \(2y+3z+6x< 6\)
Cộng hai bất đẳng thức này lại,ta được:\(8x+5y+9z< 12\)
Từ giả thiết \(xy+yz+xz\ge1\Rightarrow x\left(y+z\right)\ge1-yz\)
\(\Rightarrow x\ge\frac{1-yz}{y+z}\)Do đó
\(8\frac{1-yz}{y+z}+5y+9z< 12\Leftrightarrow8\left(1-yz\right)+\left(5y+9z\right)\left(y+z\right)< 12\left(y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow5y^2+6yz+9z^2-12y-12z+8< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+3z-2\right)^2+4\left(y-1\right)^2< 0\)(vô lý)
mâu thuẫn này chứng tỏ khẳng định bài toán đúng.Phép chứng minh hoàn tất.
Đề thiếu rồi bạn