Cho x,y là các số dương thỏa mãn \(x+y=1\).Chứng minh rằng : \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\ge11\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LA
0
2 tháng 4 2016
\(\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=4+2+5=11\)
Dấu = xảy ra khi x =y = 1/2
2 tháng 4 2016
chứng minh sao lại ra được điều này bạn?
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}\)
TN
18 tháng 10 2016
Ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=2\ge2\sqrt{\frac{2}{xy}}\Rightarrow\sqrt{\frac{2}{xy}}\le1\Rightarrow xy\ge2\)
\(5x^2+y-4xy+y^2=\left(2x-y\right)^2+x^2+y\)
\(\ge x^2+y=x^2+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\)\(\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(xy\right)^2}{4}}\ge3\)(Đpcm0
Dấu = khi x=1;y=2
T
19 tháng 9 2019
Nhớ có câu tương tự bài này mà sao nót ko hiển thị nhỉ? Thôi kệ nhai lại vậy:v
\(gt\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{1}{y}+1\right)=4\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\Rightarrow ab+a+b=3\)
Ta có: \(LHS=\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{a}\right)^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{b}\right)^2+1}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+b\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(a+b\right)}}\) (thay cái giả thiết vào:v)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)+\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{ab+a+b+1}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{4}\right)+\frac{1}{2}\) (1)
Từ giả thiết dễ dàng chứng minh \(ab\le1\). Từ đó thay vào (1) ta có đpcm.
25 tháng 9 2019
Nhớ có câu tương tự bài này mà sao nót ko hiển thị nhỉ? Thôi kệ nhai lại vậy:v
gt\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{1}{y}+1\right)=4gt⇔(x1+1)(y1+1)=4
Đặt \frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\Rightarrow ab+a+b=3x1=a;y1=b⇒(a+1)(b+1)=4⇒ab+a+b=3
Ta có: LHS=\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}LHS=3x2+11+3y2+11
=\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{a}\right)^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{b}\right)^2+1}}=3(a1)2+11+3(b1)2+11
=\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+b\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(a+b\right)}}=a2+3a+b2+3b=(a+1)(a+b)a+(b+1)(a+b)b (thay cái giả thiết vào:v)
\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)+\frac{1}{2}≤21(a+1a+b+1b+a+ba+b)=21(a+1a+b+1b)+21
=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{ab+a+b+1}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{4}\right)+\frac{1}{2}=21(ab+a+b+1ab+3)+21=21(4ab+3)+21 (1)
Từ giả thiết dễ dàng chứng minh ab\le1ab≤1. Từ đó thay vào (1) ta có đpcm.
13 tháng 6 2021
Với mọi số thực ta luôn có:
`(x-y)^2>=0`
`<=>x^2-2xy+y^2>=0`
`<=>x^2+y^2>=2xy`
`<=>(x+y)^2>=4xy`
`<=>(x+y)^2>=16`
`<=>x+y>=4(đpcm)`
TQ
13 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}=\dfrac{x+3+y+3}{\left(x+3\right)\left(y+3\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)(vì \(xy=4\))
=> \(\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
<=> \(5\left(x+y+6\right)\)≤\(2\left(3x+3y+13\right)\)
<=>\(6x+6y+26-5x-5y-30\)≥\(0\)
<=> \(x+y-4\)≥\(0\)
Áp dụng BĐT AM-GM \(\dfrac{a+b}{2}\)≥\(\sqrt{ab}\)
Ta có \(\dfrac{x+y}{2}\)≥\(\sqrt{xy}\)
<=>\(x+y\) ≥ 2\(\sqrt{xy}\)
=>2\(\sqrt{xy}-4\)≥\(0\)
<=> \(4-4\)≥0
<=>0≥0 ( Luôn đúng )
Vậy \(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
3 tháng 4 2020
Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
Khi đó BĐT <=>
\(\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+...\right)\)
<=> \(\frac{x+y+z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\right)^3\)
<=>\(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}\right)^3\)
<=> \(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\right)^3\)(1)
Xét \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)
<=> \(9\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\right]\ge8\left(xy\left(x+y\right)+xz\left(x+z\right)+yz\left(y+z\right)+3xyz\right)\)
<=> \(xy\left(y+x\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\ge6xyz\)
<=> \(x\left(y-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2+y\left(x-z\right)^2\ge0\)luôn đúng
Khi đó (1) <=>
\(\left(x+y+z\right).\frac{2\sqrt{2}}{3}.\sqrt{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+....\right)^3\)
<=> \(\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\)
Áp dụng buniacopxki cho vế phải ta có
\(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(3-xy-yz-xz\right)}\)
\(=\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\)
=> BĐT được CM
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy và Cauchy - Schwarz ta có:
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)
\(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{4xy\cdot\frac{1}{4xy}}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\frac{5}{1^2}=4+2+5=11\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)