Question

[Nguyễn Trọng Chiến]

Cho tam giác ABC, trên cạnh AB,BC lần lượt lấy E,F di động theo thứ tự trên. Gọi D là giao điểm của AF và CE . CMR S(BEF)/S(ABC)=S(DEF)/S(DAC)

Answer 1

[Trần Minh Hoàng]

Gọi T, M lần lượt là giao điểm của BD với EF, AC.

Ta có: \(\dfrac{TB}{TD}=\dfrac{S_{ETD}}{S_{FTD}}=\dfrac{S_{ETB}}{S_{FTB}}=\dfrac{S_{ETD}+S_{ETB}}{S_{FTD}+S_{FTB}}=\dfrac{S_{DEF}}{S_{BEF}}\).

Tương tự, \(\dfrac{MB}{MD}=\dfrac{S_{DAC}}{S_{ABC}}\).

Do đó ta phải chứng minh: \(\dfrac{TB}{TD}=\dfrac{MB}{MD}\).

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ADB với sự thẳng hàng của E, T, F:

\(\dfrac{TD}{TB}.\dfrac{EB}{EA}.\dfrac{FA}{FD}=1\). (1)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác EBD với sự thẳng hàng của A, M, C:

\(\dfrac{MB}{MD}.\dfrac{CD}{CE}.\dfrac{AE}{AB}=1\). (2)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AED với sự thẳng hàng của B, F, C:

\(\dfrac{BA}{BE}.\dfrac{CE}{CD}.\dfrac{FD}{FA}=1\). (3)

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có \(\dfrac{TD}{TB}.\dfrac{MB}{MD}=1\Leftrightarrow\dfrac{MB}{MD}=\dfrac{TB}{TD}\).

Từ đó ta có đpcm.

Answer 2

[Trần Minh Hoàng]