cho a,b không âm thỏa mãn \(\left(a-b\right)^2=a+b+2\)
CMR: \(\left(1+\dfrac{a^3}{\left(b+1\right)^3}\right)\left(1+\dfrac{b^3}{\left(a+1\right)^3}\right)\le9\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
23 tháng 1 2020
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\).
Đặt \(a+b=2x;a-b=2y\) thì \(x,y\ge0\) và \(a=x+y;b=x-y\) (1)
Theo đề bài: \(2x+2=4y^2\Rightarrow x=2y^2-1\ge0\)(*). Thay vào (1) thu được: \(a=2y^2+y-1;b=2y^2-y-1\)
Vì \(b\ge0\Rightarrow2y^2-y-1\ge0\) (do trên) (**)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(2y+1\right)\ge0\Leftrightarrow y\ge1\)
Vậy ta cần chứng minh:\(\left[1+\frac{\left(2y^2+y-1\right)^3}{\left(2y^2-y\right)^3}\right]\left[1+\frac{\left(2y^2-y-1\right)^3}{\left(2y^2+y\right)^3}\right]\le9\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(1-y\right)\left(y+1\right)\left(5y^4+2y^2-1\right)}{y^6}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-y\right)\left(5y^4+2y^2-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-y\right)\left[\frac{1}{4}\left(2y^2-1\right)\left(10y^2+9\right)+\frac{5}{4}\right]\le0\)
Cái ngoặc vuông > 0 (do (*) ). Nên ta chỉ cần chứng minh: \(1-y\le0\Leftrightarrow y\ge1\)(hiển nhiên đúng theo (**) )
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left\{\left(2;0\right),\left(0;2\right)\right\}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 6 2021
Đề bài hình như bị sai em, thay điểm rơi ko thỏa mãn
Biểu thức là \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\) mới đúng
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 6 2021
Bài này đã có ở đây:
Cho abc=1CMR\(\dfrac{a+3}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{b+3}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{c+3}{\left(c+1\right)^2}\ge3\) - Hoc24
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 3 2023
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+c=x>0\\b+c=y>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xy=1\)
\(A=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}\)
\(=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2-2xy+2xy\)
\(=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\left(x-y\right)^2+2\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-y\right)^2}{\left(x-y\right)^2}}+2=4\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 3 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
\(\frac{a^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a+1}{8}+\frac{b+1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)
\(\frac{b^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64}}=\frac{3b}{4}\)
\(\frac{c^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c+1}{8}+\frac{a+1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64}}=\frac{3c}{4}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{b^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{c^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{a+b+c+3}{4}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{b^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{c^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{3}{2}\geq \frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{b^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{c^3}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
12 tháng 5 2023
Đặt \(P=\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(P=\dfrac{\left(abc\right)^2}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(abc\right)^2}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(abc\right)^2}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(P=\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)
\(P\ge\dfrac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)}\) (BĐT B.C.S)
\(=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) \(\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abbcca}}{2}=\dfrac{3}{2}\) (do \(abc=1\)).
ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
\(GT\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=a+b+2\)
\(\Leftrightarrow a^2+a+b^2+b=2\left(ab+a+b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)=2\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+1}+\dfrac{b}{a+1}=2\)
Đặt \(\left(\dfrac{a}{b+1};\dfrac{b}{a+1}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x;y\ge0\\x+y=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow0\le xy\le1\)
\(P=\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)=1+x^3+y^3+x^3y^3\)
\(P=1+\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(xy\right)^3\)
\(P=\left(xy\right)^3-6xy+9=xy\left[\left(xy\right)^2-6\right]+9\le9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(xy=0\Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left(0;2\right);\left(2;0\right)\)