Question

[em ơi]

cho 2 đường tròn (O;R) và (O';R') tiếp xúc ngoài tại A,góc vuông xoy thay đổi luôn đi qua A,cắt đường tròn (O;R) vad (O';R') tại B và C.Gọi H là hình chiếu của A trên BC.Xác định vị trí cả B,C để AH có độ dài lớn nhất

Answer 1

[Trần Minh Hoàng]

Gọi D là giao điểm thứ hai của AC với (O).

Khi đó \(\widehat{BAD}=90^o\) nên BD là đường kính của (O), do đó B, O, D thẳng hàng.

Kẻ AE // BD \((E\in BD)\).

Ta có \(\widehat{DAO}=\widehat{CAO'}\) mà các tam giác DAO và CAO' cân lần lượt tại O và O' nên \(\widehat{ODA}=\widehat{O'CA}\). Từ đó OD // O'C.

Theo định lý Thales: \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AO}{AO'}=\dfrac{R}{R'}\Rightarrow\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{R'}{R+R'}\).

Mặt khác cũng theo định lý Thales: \(\dfrac{AE}{BD}=\dfrac{CA}{CD}\Rightarrow\dfrac{AE}{2R}=\dfrac{R'}{R+R'}\Rightarrow AE=\dfrac{2RR'}{R+R'}\RightarrowẠH\le AE=\dfrac{2RR'}{R+R'}\) không đổi.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(E\equiv H\), tức BC vuông góc với BD hay BC là tiếp xúc với (O) tại B.