Cho x,y,z là các số thực thõa mãn : xyz=1
Tìm giá trị lớn nhất của
A=\(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{x^3+z^3+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
31 tháng 12 2020
Ta có: \(x+y+z=xyz\Leftrightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Leftrightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Leftrightarrow x^2+1=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}\)\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Tương tự, ta được: \(\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}=\sqrt{\frac{zx}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}\); \(\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
Cộng theo từng vế ba đẳng thức trên, ta được: \(P=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)\(\le\frac{\frac{y}{x+y}+\frac{z}{z+x}+\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}+\frac{y}{y+z}}{2}=\frac{3}{2}\)(BĐT Cô-si)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = \(\sqrt{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 1 2017
Lời giải:
Sử dụng bổ đề: Với \(a,b>0\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\)
BĐT đúng vì nó tương đương với \((a-b)^2(a+b)\geq 0\) (luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(P\leq \frac{1}{x^3yz(y+z)+1}+\frac{1}{y^3xz(x+z)+1}+\frac{1}{z^3xy(x+y)+1}\)
\(\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{x^2(y+z)+xyz}+\frac{1}{y^2(x+z)+xyz}+\frac{1}{z^2(x+y)+xyz}\)
\(\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{x(xy+yz+xz)}+\frac{1}{y(xy+yz+xz)}+\frac{1}{z(xy+yz+xz)}=\frac{xy+yz+xz}{xy+yz+xz}=1\)
Vậy \(P_{\max}=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
26 tháng 4 2020
\(E= {\sum {(yz)^2 \over xy+zx}}\)>=3/2 (AD BĐT Nesbit)
Dấu = xảy ra <=>x=y=z=1
26 tháng 4 2020
đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow abc=\frac{1}{xyz}=1\)
Ta có : \(x+y=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=c\left(a+b\right)\)
Tương tự : \(y+z=a\left(b+c\right);x+z=b\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow E=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow E\ge\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN của E là \(\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
21 tháng 2 2017
x,y,z là số thực à khó đấy số dương thì mk còn làm đc
chứ số thực mk chịu
21 tháng 2 2017
Biến đổi tương đương ta CM được BĐT sau: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}\)
CM tương tự với các phân thức còn lại
Cộng vế theo vế các BĐT đó ta được:
\(A\le\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}=1\)
Vậy Max A=1 <=> x=y=z=1
11 tháng 5 2018
áp dụng bđt cosi ta có:
\(x^3+y^3+1>=3xy\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+1}< =\frac{1}{3xy}\)
tương tự \(\frac{1}{y^3+z^3+1}< =\frac{1}{3yz};\frac{1}{z^3+x^3+1}< =\frac{1}{3zx}\)
dấu = xảy ra khi x=y=z=1(thỏa mãn vì khi đó xyz=1*1*1=1)
\(\Rightarrow A< =\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3zx}\)
\(\Rightarrow\)max của A là \(\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3zx}\)khi x=y=z=1
khi đó A=\(\frac{1}{3\cdot1\cdot1}+\frac{1}{3\cdot1\cdot1}+\frac{1}{3\cdot1\cdot1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)
vậy max A là 1 khi x=y=z=1
11 tháng 5 2018
Với x, y>o ta có bđt \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Rightarrow a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)+1=ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Cmtt ta được A\(\le\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Dấu = xra khi a=b=c và abc=1 =>a=b=c=1
1 tháng 2 2018
1/x + 1/y + 1/z = 1/3 = 1/x+y+z
<=> xy+yz+zx/xyz = 1/x+y+z
<=> (xy+yz+zx).(x+y+z) = xyz
<=> x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+3xyz = xyz
<=> x^2y+xy^2+y^2z+zy^2+z^2x+zx^2+2xyz = 0
<=> (x+y).(y+z).(z+x) = 0
<=> x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x = 0
<=> z=3 hoặc x=3 hoặc y=3
=> ĐPCM
Tk mk nha
Ta có:
\(x^3+y^3+1=x^3+y^3+xyz=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)+xyz\)
\(\ge\left(x+y\right).xy+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
Suy ra \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{1}{y^3+z^3+1}\le\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)},\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}\).
Cộng lại vế với vế ta được:
\(A\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}=1\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=1\).