Question

[Pham Trong Bach]

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm  x ∈ [ 1 ; 2 ] .

x 4 + 16 x 4 + 4 ( x 2 + 4 x 2 ) - 12 ( x - 2 x ) = m

A.  - 13 ≤ m ≤ 11

B.  - 15 ≤ m ≤ 9

C.  - 15 < m < 9

D.  - 16 ≤ m ≤ 9

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án là  B.

Đặt t = x - 2 x  Đạo hàm  t , = 1 + 2 x 2 >   0

Do đó t ( 1 ) ≤ t ≤ t ( 2 ) , ∀ x ∈ [ 1 ; 2 ] , suy ra  - 1 ≤ t ≤ 1

Ta có  x 2 + 4 x 2 = t 2 + 4 , x 4 + 16 x 4 = ( x ² + 4 x 2 ) 2 - 8 = ( t ² + 4 ) 2 - 8 = t 4 + 8 t 2 + 8

Phương trình đã cho trở thành

t 4 + 8 t 2 + 8 - 4 ( t 2 + 4 ) - 12 t = m ⇔ t 4 + 4 t 2 - 12 t = m + 8   ( * )

Phương trình đã cho có nghiệm trong đoạn [1;2] khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm trong [-1;1] Xét hàm số y=f(t)= t 4 + 4 t 2 - 12 t  trên [-1;1]

Đạo hàm  y , = 4 t 8 + 8 t - 12 ,   t ∈ ( - 1 ; 1 ) . y , = 4 ( t - 1 ) ( t 2 + t + 3 ) < 0 , ∀ t ∈ ( - 1 ; 1 )

Bảng biến thiên:

Do đó để phương trình đã cho có nghiệm trên [1;2] thì  - 7 ≤ m + 8 ≤ 17 ⇔ - 15 ≤ m ≤ 9