Cho x,y là hai số không âm thỏa mãn x+y=2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 3 x 3 + x 2 + y 2 − x + 1 là:
A. min P = 7 3
B. min P = 5
C. min P = 17 3
D. min P = 115 3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
9 tháng 8 2023
\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=9\)
\(\Rightarrow xy+x+y+1=9\)
\(\Rightarrow xy+x+y=8\)
\(\Rightarrow x+y=8-xy\left(1\right)\)
\(K=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow K=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(8-xy\right)^2-2xy\)
\(\Rightarrow K=64-16xy+\left(xy\right)^2-2xy\)
\(\Rightarrow K=\left(xy\right)^2-18xy+64\)
\(\Rightarrow K=\left(xy\right)^2-18xy+81-17\)
\(\Rightarrow K=\left(xy-9\right)^2-17\ge-17\left(\left(xy-9\right)^2\ge0,\forall x;y\right)\)
\(\Rightarrow GTNN\left(K\right)=-17\)
CM
29 tháng 4 2018
Chọn C.
Phương pháp:
Đưa biểu thức P về hàm số 1 ẩn x.
Khảo sát, tìm GTNN của hàm số đó.
Cách giải:
CM
1 tháng 1 2020
Ta có x + y = 2 ⇒ y = 2 - x ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 . Thay y = 2 - x và biểu thức P ta được
P = 1 3 x 3 + x 2 + 2 - x 2 - x + 1 = 1 3 x 3 + 2 x 2 - 5 x + 5 = f x
với x ∈ 0 ; 2
Đạo hàm f ' x = x 2 + 4 x - 5 = 0 ⇔ x = 1 x = - 5
Do x ∈ 0 ; 2 nên loại x = -5
f 1 = 7 3 ; f 0 = 5 ; f 2 = 17 3
Vậy m i n x ∈ 0 ; 2 P = m i n x ∈ 0 ; 2 f x = 7 3 khi và chỉ khi x = 1
Đáp án B
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 8 2021
\(P=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2-4xy+3=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2-4xy+3\)
\(=\left(16-2xy\right)^2-2x^2y^2-4xy+3=2x^2y^2-68xy+259\)
\(4=x+y\ge2\sqrt[]{xy}\Rightarrow0\le xy\le4\)
Đặt \(xy=a\Rightarrow0\le a\le4\)
\(P=2a^2-68a+259=259-2a\left(34-a\right)\le259\)
\(P_{max}=259\) khi \(a=0\) hay \(\left(x;y\right)=\left(4;0\right);\left(0;4\right)\)
\(P=\left(2a^2-68a+240\right)+19=2\left(4-a\right)\left(30-a\right)+19\ge19\)
\(P_{min}=19\) khi \(a=4\) hay \(x=y=2\)
MN
7 tháng 6 2021
\(x+y=1\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
=> \(A=x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy.\left(x+y\right)\ge1^2-3\cdot\frac{1}{4}\cdot1=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{2}\)
vậy ...
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
7 tháng 6 2021
\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(A=x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=1-3xy\ge1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)
Dấu \(=\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\).
Đáp án A
P = 1 3 x 3 + x 2 + y 2 − x + 1 = = 1 3 x 3 + x + y 2 − 2 x y − x + 1 = 1 3 x 3 + 4 − 2 x 2 − x − x + 1
⇒ P = 1 3 x 3 + 2 x 2 − 5 x + 5
xét hàm số P x trên 0 ; 2 ta có
P ' = x 2 + 4 x − 5 ⇒ P ' = 0 ⇔ x = 1
Ta tính các giá trị P 0 = 5 ; P 1 = 7 3 ; P 2 = 17 3 ⇒ M i n P = 7 3