Question

[Pham Trong Bach]

Cho hình lăng trục tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4 và A A ' = 61 2 . Hình chiếu của B’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC, M là trung điểm của cạnh A’B’. Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC’) và (A’BC) là

A.  11 3157

B.  13 65

C.  33 3517

D.  33 3157

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Chọn đáp án D

             

Gọi H là trung điểm của cạnh BC. Suy ra B ' H ⊥ A B C  

∆ A B C  vuông tại A nên B C = A B 2 + A C 2 = 5  

vuông tại H nên B ' H = B ' B 2 - B H 2 = 3  

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình, trong đó A ≡ O 0 ; 0 ; 0 ,   B 3 ; 0 ; 0 , C 0 ; 4 ; 0 .

Ta có H là trung điểm của BC nên H 3 2 ; 2 ; 0 ,  H là hình chiếu của B’ trên bề mặt phẳng (ABC) nên B ' 3 2 ; 2 ; 3 .

Từ A B ⇀ = A ' B ' ⇀  suy ra

 

Từ  A C ⇀ = A ' C ' ⇀  suy ra

M là trung điểm của A’B’ nên M(0;2;3).

Ta có

Mặt phẳng (AMC’) có một vectơ pháp tuyến là n 1 ⇀ = 8 ; 3 ; - 2 .

Lại có A ' B ⇀ = 9 2 ; - 2 ; - 3 , A ' C ⇀ = 3 2 ; 2 ; - 3

⇒ A ' B ⇀ , A ' C ⇀ = 12 ; 9 ; 12

⇒ Mặt phẳng (A’BC) có một vectơ pháp tuyến là  n 2 ⇀ = 4 ; 3 ; 4 .

Gọi  α  là góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC’) và (A’BC) thì:

⇒ cos α = 33 3157