Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+1}{2}$ và $∆:\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+3}{2}$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với tam giác một góc $30°$. có dạng x + ay + bz + c = 0 với $a,b,c,\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ khi đó giá trị a + b + c là

A. 8

B. -8

C. 7

D. -7

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B

- Gọi vecto pháp tuyến của (P) là n   → = a ; b ; c ≢ 0  

- d ⊂ ( P ) ⇒ n   → . u d   → = 0 ⇔ a + b - c = 0 ⇒ c = a + b  (1)

- Δ có vecto chỉ phương u ∆ → = 1 ; 2 ; 2 , góc giữa Δ và (P) là 30° nên

sin 30 ° = n   → . u ∆ → n   → . u ∆ → ⇔ 1 2 = a + b + 2 c a 2 + b 2 + c 2 . 1 2 + 1 2 + 4   (2)

Thế (1) vào (2) ⇒ 3 a + b 6 . 2 a 2 + 2 b 2 + 2 a b = 1 2  

⇔ 4 . 9 a 2 + b 2 + 2 a b = 6 2 a 2 + 2 b 2 + 2 a b  

⇔ 24 a 2 + 24 b 2 + 60 a b = 0 ⇔ a = - 1 2 b a = - 2 ⇔ b = - 2 a a = - 2 b

⇒ ( P ) : x - 2 y - z - 5 = 0 .

- Với b = - 2 a ⇒ c = a + b = - a . Chọn a = 1 ⇒ n   → = 1 ; - 2 ; - 1  

⇒ P : x - 2 y - z = 5

- Với a = - 2 b ⇒ c = - b . Chọn b = 1 ⇒ n   → = - 2 ; 1 ; - 1  

⇒ ( P ) : 2 x - y + z - 2 = 0