Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-2}$ và mặt phẳng (P): x + 2y + z - 6 = 0. Mặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P) theo giao tuyến là đường thẳng $∆$ cách gốc tọa độ O một khoảng ngắn nhất. Viết phương trình mặt phẳng (Q)

A.  x - y + z - 4 = 0

B. x + y + z + 4 = 0

C. x + y + z - 4 = 0

D. x + y - z - 4 = 0

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Gọi H,I lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên (P) và  ∆ .

Ta có d ( O; ∆ ) =  OI ≥ OH. Dấu “=” xảy ra khi I = H.

Đường thẳng OH qua O ( 0;0;0 ) nhận n → = ( 1;2;1 ) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là  x = t y = 2 t z = t

Mặt phẳng (P) có phương trình: x + 2y + z - 6 = 0.

Từ hai phương trình trên suy ra t = 1 nên H ( 1;2;1 ).

Khi đó (Q) là mặt phẳng chứa d và đi qua H.

Ta có M ( 1;1;2 ) ∈ d , vectơ chỉ phương của d là u → = ( 1;1;-2 ); H M → = ( 0;-1;1 ).

Suy ra vectơ pháp tuyến của (Q) là n → = n → ; H M → = ( -1;-1;-1 ) . Hơn nữa (Q) qua điểm M ( 1;1;2 ) nên (Q) có phương trình là:x + y + z - 4 = 0

Đáp án C