Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng: \(\frac{bc}{...

LX

Lê Xuân Khánh

18 tháng 11 2021 - olm

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng: \(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)\(\frac{1}{2c}\)tks...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

LX

Lê Xuân Khánh

18 tháng 11 2021

mk viết thừa \(\frac{1}{2c}\)nha các bn thông cảm :>

Đúng(0)

N

N.T.M.D

5 tháng 5 2021

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng

\(\frac{ab}{c}\)+\(\frac{bc}{a}\)+\(\frac{ca}{b}\)\(\ge\)a+b+c

#Toán lớp 8

1

TT

Thu Thao

5 tháng 5 2021

Áp dụng bđt AM - GM cho a,b,c thực dương :

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2\sqrt{b^2}=2b\\\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2c\\\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}\ge2a\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2.\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" ⇔ a = b =c

Đúng(2)

N

N.T.M.D

5 tháng 5 2021

có cách lớp 8 ko ạ

Đúng(0)

N

N.T.M.D

5 tháng 5 2021 - olm

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng

\(\frac{ab}{c}\)+\(\frac{bc}{a}\)+\(\frac{ca}{b}\)\(\ge\)a+b+c

#Toán lớp 8

2

LD

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

5 tháng 5 2021

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\left|b\right|=2b\)( vì b > 0 )

Tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\); \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)

Cộng vế với vế các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

Đúng(0)

PT

Phạm Thành Đông

5 tháng 5 2021

Giả sử ta phải chứng minh: \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\left(a,b,c>0\right)\).

\(\Leftrightarrow\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\).

\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+\frac{2ab.bc}{ac}+\frac{2bc.ca}{ab}+\frac{2ca.ab}{cb}\ge\)\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\).

\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+2b^2+2c^2+2a^2-a^2-b^2-c^2\ge\)\(2ab+2bc+2ca\).

\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+a^2+b^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\left(1\right)\).

Vì \(a,b,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(\frac{a^2b^2}{c^2}+c^2\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{c^2}.c^2}=2ab\left(2\right)\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{b^2c^2}{a^2}+a^2\ge2bc\left(a,b,c>0\right)\left(2\right)\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{c^2a^2}{b^2}+b^2\ge2ca\left(4\right)\).

Từ \(\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\), ta được:

\(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+a^2+b^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\).

Do đó bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c>0\).

Vậy \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)với \(a,b,c>0\).

Đúng(0)

V

vvvvvvvv

19 tháng 12 2019

cho a,b,c,d là các số thực dương.Chứng minh rằng \(\frac{a+c}{b+a}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a}\ge4\)

#Toán lớp 8

0

NC

Nguyễn Công Điệp Hoàng

3 tháng 12 2015 - olm

\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)(1)

Cho a;b;c là các số thực dương.Chứng minh (1)

#Toán lớp 9

0

NH

Nguyễn Hùng Mạnh

6 tháng 5 2015 - olm

Cho a,b,c là ba số dương.Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)

#Toán lớp 9

1

DD

Dương Đình Quân

29 tháng 10 2016

Minh cũng đang bí bàu này

Đúng(0)

HL

Hồ Lê Thiên Đức

25 tháng 5 2022

Cho a,b là các số thực dương.Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a+b}{1+ab}+\dfrac{ab}{1+a}+\dfrac{ab}{1+b}+\dfrac{a+b+2ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)ab}\ge3\)

#Toán lớp 9

1

TT

Trần Tuấn Hoàng

25 tháng 5 2022

Tham khảo:

undefined

Đúng(1)

MM

mi mi mi

14 tháng 2 2016 - olm

cho a,b,c là các số nguyên dương.chứng minh rằng

1<\(\frac{a}{b+c}\)+\(\frac{b}{c+a}\)+\(\frac{c}{a+b}\)<2

#Toán lớp 6

1

HP

Hoàng Phúc

14 tháng 2 2016

đặt a/b+c+b/c+a+c/a+b là A

ta có: \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

=>A>1 (1)

\(A=\left(1-\frac{b}{a+b}\right)+\left(1-\frac{c}{b+c}\right)+\left(1-\frac{a}{c+a}\right)<3-\left(\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+a}+\frac{a}{c+a+b}\right)=3-1=2\)=>A<2 (2)

từ (1);(2)=>1<A<2

=>đpcm

Đúng(0)

PT

phạm thị hà phương

30 tháng 3 2019 - olm

1.\(cho\)a,b,c là các số nguyên dương.chứng tỏ rằng :

\(m=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)không phải là một số nguyên

#Toán lớp 6

3

ON

o0o nhật kiếm o0o

30 tháng 3 2019

Gợi ý : CM : a < m < b

Với m , b là 2 số liêm tiếp

Đúng(0)

ON

o0o nhật kiếm o0o

30 tháng 3 2019

nhầm : m,b sai nha là a,b

Đúng(0)

K

Kuramajiva

30 tháng 12 2020

Câu 1: Chứng minh \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}\) với ∀n∈\(N^*\)Câu 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\frac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c}\geq abc\).Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^6+b^6+1}+\sqrt{b^6+c^6+1}+\sqrt{c^6+a^6+1}\geq 3\sqrt{3}\)Câu 4: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=3\).Chứng minh rằng: \(a^3+b^3+c^3\geq 3\)Câu 5:...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

30 tháng 12 2020

1. Đề thiếu

2. BĐT cần chứng minh tương đương:

\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)

3.

Ta có:

\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)

\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Lại có:

\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

Đúng(2)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

30 tháng 12 2020

4.

Ta có:

\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

5.

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)

Đúng(1)

PL

Phúc Long Nguyễn

21 tháng 4 2017 - olm

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng Minh Rằng:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\)

#Toán lớp 9

1

TN

Thắng Nguyễn

21 tháng 4 2017

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{a+b}{4}\).Thiết lập các BĐT tương tự:

\(\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4};\frac{ca}{c+a}\le\frac{c+a}{4}\)

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP