Question

[Pham Trong Bach]

Xét các số thực dương x,y thỏa mãn ${\log }_{\sqrt{3}}\frac{x+y}{x^2+y^2+xy+2}=x\left(x-3\right)+y\left(y-3\right)+xy.$ Tìm giá trị lớn nhất $P_{max}$ của  $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}.$

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án C.

Ta có x x − 3 + y y − 3 + x y

= x 2 + y 2 + x y − 3 x − 3 y = x 2 + y 2 + x y + 2 − 3 x + y − 2

Khi đó, giả thiết trở thành:

log 3 x + y x 2 + y 2 + x y + 2 = x 2 + y 2 + x y + 2 − 3 x + y − 2  

⇔ log 3 x + y − log 3 x 2 + y 2 + x y + 2 = x 2 + y 2 + x y + 2 − 3 x + y − 2  

⇔ 3 x + y + log 3 3 x + y = x 2 + y 2 + x y + 2 + log 3 x 2 + y 2 + x y + 2  

Xét hàm số f t = t + log 3 t  trên khoảng  0 ; + ∞ ,

có f ' t = 1 + 1 t ln 3 > ;   ∀ t > 0.

Suy ra f( t) là hàm số đồng biến trên  0 ; + ∞

mà f 3 x + y = f x 2 + y 2 + x y + 2  

⇔ 2 x + y 2 − 6 2 x + y + 5 = − 3 y − 1 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 2 x + y ≤ 5.  

Khi đó P = 1 + 2 x + y − 5 x + y + 6 ≤ 1  

vì 2 x + y − 5 ≤ 0 x + y + 6 > 0 .  Vậy  P m a x = 1.