K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017

Bài 1

Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\)

Biến đổi:

\(A=a^3+b^3+c^3-3[abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1]=a^3+b^3+c^3-3abc+3(ab+bc+ac)-6\)

\(A=(a+b+c)^3-3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]-6+3(ab+bc+ac)\)

\(A=21-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)=21-6(ab+bc+ac)\)

Áp dụng BĐT Am-Gm:

\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)

\(\Rightarrow A\geq 21-6.3=3\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

\(0\leq a,b,c\leq2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\geq 0\Rightarrow ab+bc+ac\geq 2\)

\(\Rightarrow A\leq 21-6.2=9\). Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017

Bài 2a)

Ta có

\(A=a^2+b^2+c^2=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-2(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow A=(a+b+c+3)^2-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]-3\)

\(\Leftrightarrow A=6-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]\)

\(-1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow a+1,b+1,c+1\geq 0\)

\(\Rightarrow (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 0\Rightarrow A\leq 6\)

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-1,-1,2)\) và các hoán vị của nó

NV
15 tháng 6 2020

\(0< a< 1\Rightarrow a-1< 0\Rightarrow a\left(a-1\right)< 0\Rightarrow a^2< a\)

Tương tự: \(b\left(b-1\right)< 0\Rightarrow b^2< b\) ; \(c\left(c-1\right)< 0\Rightarrow c^2< c\)

Cộng vế với vế:

\(a^2+b^2+c^2< a+b+c\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\) (đpcm)

19 tháng 10 2016

giả /sử:  b>a=> c<1 (vì b+c<a+1)

=> b<c<1=> a<1 mẫu thuẫn gia thiết a>1=> dpcm

AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 5 2018

Lời giải:

\(1< a\Rightarrow a+1< 2a(1)\)

\(b< c\Rightarrow 2b< b+c(2)\)

\(b+c< a+1\) do đó kết hợp với \((1);(2)\) suy ra:

\(2b< b+c< a+1< 2a\)

\(\Rightarrow b< a\)

Ta có đpcm.

12 tháng 5 2018

Ta có 1<a

=> a+1<2a

Ta có b<c

=> 2b<b+c

Mà b+c<a+1 ( theo gt cho )

Mà a+1<2a ; 2b<b+c

=> 2b<2a

=> b<a

=> dpcm

8 tháng 5 2015

a + b2 + c2 < 2

<=> a + b2 + c2 <  a+ b + c

<=> (a - a )+ (b2 - b )+ (c2 - c) < 0

<=> a.(a - 1) + b.(b -1) + c.(c -1) < 0   (*)

Điều này luôn đúng với mọi 0<a<1; 0<b<1; 0<c<1  vì 0<a<1 => a- 1 < 0 => a.(a-1) < 0

tương tự b(b - 1) < 0; c(c -1) < 0

Vậy (*) => đpcm