Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn A.
Từ giả thiết, suy ra f a - x = 1 f x
Đặt t=a-x suy ra dt=-dx . Đổi cận: x = 0 → t = a x = a → t = 0
Khi đó
1. Áp dụng quy tắc L'Hopital
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{f\left(0\right)-f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{-f'\left(0\right)}=-\dfrac{1}{6}\)
2.
\(g'\left(x\right)=2x.f'\left(\sqrt{x^2+4}\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\f'\left(\sqrt{x^2+4}\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\sqrt{x^2+4}=1\\\sqrt{x^2+4}=-2\end{matrix}\right.\)
2 pt cuối đều vô nghiệm nên \(g'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm
f ( 1 - x ) + x 2 f ' ' ( x ) = 2 x 1
Thay x=0 vào (1) ta được f(1)=0
Đạo hàm hai vế của (1) ta có - f ' ( 1 - x ) + 2 x f ' ' ( x ) + x 2 f ' ' ' ( x ) = 2 2
Thay x=0 vào (2) ta được f'(1)=2
Mặt khác, lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 của (1) ta có:
∫ 0 1 f ( 1 - x ) d x + ∫ 0 1 x 2 f ' ' ( x ) d x = ∫ 0 1 2 x d x
⇔ - ∫ 0 1 f ( 1 - x ) d ( 1 - x ) + f ' ( 1 ) - 2 ∫ 0 1 x f ' ( x ) d x = 1 ⇔ ∫ 0 1 f ( x ) d x - 2 ∫ 0 1 x f ' ( x ) d x = 3
Đặt ∫ 1 f ( x ) d x = I 1 . Vì
∫ 0 1 x f ' ( x ) d x = f ( 1 ) - ∫ 0 1 f ( x ) d x = - ∫ 0 1 f ( x ) d x
nên ta có hệ: I 1 - 2 I = 3 I = - I 1 ⇔ I 1 = 1 I = - 1
Vậy I=-1
Chọn đáp án B.
Ta có
lim x → ∞ f 2 x f x = 1 ⇒ lim x → ∞ f 2 n x f x = lim x → ∞ f 2 n x f x . f 2 n - 1 x f 2 n - 2 x . . f 2 x f x = 1
Giả sử f(x) tăng và k ≥ 1 . Ta thấy tồn tại n ∈ N sao cho 2 n ≤ k ≤ 2 n + 1
Theo tính đơn điệu của f, ta có f 2 " x ≤ f k x ≤ f 2 n + 1 x
Từ đây suy ra lim x → ∞ f k x x = 1 , ∀ k ≥ 1
Cũng suy luận như trên, trong trường hợp 0 < k < 1 ta có
lim x → ∞ f k x x = lim x → ∞ f u f u k = 1
Vậy ta thu được lim x → ∞ f k x x = 1 , ∀ k > 0
Đáp án A