GHPT\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=1+\sqrt{x^2-y^2}\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\end{matrix}\right.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
18 tháng 2 2021
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+x+y+1}+x+\sqrt{y^2+x+y+1}+y=18\left(1\right)\\\sqrt{x^2+x+y+1}-x+\sqrt{y^2+x+y+1}-y=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\xrightarrow[\left(1\right)-\left(2\right)]{\left(1\right)+\left(2\right)}\left\{{}\begin{matrix}2\left(\sqrt{x^2+x+y+1}+\sqrt{y^2+x+y+1}\right)=20\left(3\right)\\2\left(x+y\right)=16\Rightarrow x=8-y\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Thay (4) vào (3) và thu gọn ta được: \(\left(\sqrt{x^2+9}+\sqrt{y^2+9}\right)=10\left(5\right)\)
Kết hợp (4) và (5): \(\left\{{}\begin{matrix}x=8-y\\\sqrt{x^2+9}+\sqrt{y^2+9}=10\end{matrix}\right.\) rồi giải nốt :D good luck
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 12 2022
ĐKXĐ: \(x;y\ge0\)
Với \(x=0\) hoặc \(y=0\) đều ko là nghiệm
Với \(x;y>0\) hệ tương đương:
\(\left\{{}\begin{matrix}1+\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{2}{\sqrt{3x}}\\1-\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}\end{matrix}\right.\)
Lần lượt cộng vế với vế và trừ vế cho vế ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}1=\dfrac{1}{\sqrt{3x}}+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}\\\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{\sqrt{3x}}-\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}\end{matrix}\right.\)
Nhân vế với vế:
\(\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{3x}-\dfrac{8}{7y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y}{3}-\dfrac{8x}{7}=1\)
\(\Rightarrow y=\dfrac{24x+21}{7}\)
Rồi thế vào 1 trong các pt đầu
Nhưng em có nhầm đề ko mà con số xấu kinh khủng vậy nhỉ? Số \(\sqrt{7}\) kia cho xấu 1 cách ko cần thiết, nó ko ảnh hưởng đến cách giải mà chỉ khiến cho việc tính toán khó khăn 1 cách cơ học khá vớ vẩn
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 2 2021
Từ pt thứ nhất: \(\Leftrightarrow x+1+\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}=\left(-y\right)+\sqrt{\left(-y\right)^2+1}\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t+\sqrt{t^2+1}\Rightarrow f'\left(t\right)=1+\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}=\dfrac{t+\sqrt{t^2+1}}{\sqrt{t^2+1}}\)
\(f'\left(t\right)>\dfrac{t+\sqrt{t^2}}{\sqrt{t^2+1}}=\dfrac{t+\left|t\right|}{\sqrt{t^2+1}}\ge0\Rightarrow f'\left(t\right)>0\) ; \(\forall t\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên R
\(\Rightarrow x+1=-y\Rightarrow y=-x-1\)
Thế xuống pt dưới:
\(x^3-\left(3x^2-2x-8\right)\sqrt{2x^2+x-1}=0\)
Bạn coi lại đề, pt vô tỉ này ko giải được
TC
GHPT: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+5}+\sqrt{y-2}=7\\\sqrt{y+5}+\sqrt{x-2}=7\end{matrix}\right.\)
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 1 2021
ĐKXĐ; ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+5}=a>0\\\sqrt{y-2}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=7\\\sqrt{a^2-7}+\sqrt{b^2+7}=7\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2-7}+\sqrt{\left(7-a\right)^2+7}=7\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2-14a+56}=7-\sqrt{a^2-7}\) (\(a\le\sqrt{56}\))
\(\Leftrightarrow a^2-14a+56=42+a^2-14\sqrt{a^2-7}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2-7}=a-1\)
\(\Leftrightarrow a^2-7=a^2-2a+1\Leftrightarrow a=4\Rightarrow b=3\)
\(\Rightarrow x;y\)
20 tháng 2 2021
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ y > 1\\ x + y > 0 \end{array} \right.\)
Hệ phương trình tương đương: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{x + 2}}} + \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{y - 1}}} = 2\\ {\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x + y}}} \right)^2} + \left( {\dfrac{{y - 1}}{{x + y}}} \right)^2 = 2 \end{array} \right.\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} a = \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{x + 2}}} \\ b = \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{y - 1}}} \end{array} \right.\) (với \(a,b > 0\))
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} a + b = 2\\ \dfrac{1}{{{a^4}}} + \dfrac{1}{{{b^4}}} = 2 \end{array} \right.\left( * \right)\)
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:
\(\begin{array}{l} 2 = a + b \geqslant 2\sqrt {ab} \Rightarrow ab \leqslant 1\\ 2 = \dfrac{1}{{{a^4}}} + \dfrac{1}{{{b^4}}} \geqslant 2\sqrt {\dfrac{1}{{{a^4}}}.\dfrac{1}{{{b^4}}}} \Rightarrow ab \geqslant 1 \end{array}\)
Thế nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow a = b = 1\)
Ta lại có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{x + y}}{{x + 2}} = 1\\ \dfrac{{x + y}}{{y - 1}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 2 \end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là \((-1;2)\)
20 tháng 2 2021
Đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x>-2\\y>1\\x+y>0\end{matrix}\right.\)
hpt\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x+y}{x+2}}+\sqrt{\dfrac{x+y}{y-1}}=2\\2\left(x+y\right)^2=\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x+y}{x+2}}+\sqrt{\dfrac{x+y}{y-1}}=2\\\left(\dfrac{x+2}{x+y}\right)^2+\left(\dfrac{y-1}{x+y}\right)^2=2\end{matrix}\right.\)
Đặt \(a=\sqrt{\dfrac{x+y}{x+2}},b=\sqrt{\dfrac{x+y}{y-1}}\left(a,b>0\right)\)
Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\a^4+b^4=2a^4b^4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]^2-2a^2b^2=2a^4b^4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\\left(4-2ab\right)^2-2a^2b^2=2a^4b^4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\a^4b^4=a^2b^2-8ab+8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\a^2b^2\left(a^2b^2-1\right)+8\left(ab-1\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\\left(ab-1\right)\left[a^2b^2\left(ab+1\right)+8\right]=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\ab-1\end{matrix}\right.\left(a,b>0\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x+y}{x+2}}=1\\\sqrt{\dfrac{x+y}{y-1}}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=x+2\\x+y=y-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)
TC
0
9 tháng 11 2021
\(PT\left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2-x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}}-y=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}}-y=0\\ \Leftrightarrow y\left(\dfrac{2y}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}}-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\\dfrac{2y}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}}=1\left(3\right)\end{matrix}\right.\\ \left(3\right)\Leftrightarrow\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}=2y\\ \Leftrightarrow x^2+\sqrt{x^4-y^4}=2y^2\\ \Leftrightarrow\sqrt{x^4-y^4}=\left(2y^2-x^2\right)^2\\ \Leftrightarrow x^4-y^4=4y^4-4x^2y^2+x^4\\ \Leftrightarrow5y^4-4x^2y^2=0\\ \Leftrightarrow y^2\left(5y^2-4x^2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\left(trùng.n_o\right)\\5y^2=4x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x^2=\dfrac{5}{4}y^2\)
Từ đó thế 2 trường hợp vào PT(1)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 11 2021
Với \(y=3\) ko phải nghiệm
Với \(y\ne3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y-3}{\sqrt{x+y}+\sqrt{x+3}}=x\\\sqrt{x+y}+\sqrt{x}=x+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left(y-3\right)\left(\sqrt{x+y}-\sqrt{x+3}\right)}{\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{x+3}\right)\left(\sqrt{x+y}-\sqrt{x+3}\right)}=x\\\sqrt{x+y}+\sqrt{x}=x+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+y}-\sqrt{x+3}=x\\\sqrt{x+y}+\sqrt{x}=x+3\end{matrix}\right.\)
Trừ vế:
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(\sqrt{x+3}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}=0\)
\(\Rightarrow x;y\)
N
29 tháng 9 2019
*Công thức: Biến đổi x theo y và ngc lại và dùng các quy tắc.
a)\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}x-\sqrt{3}y=1\\x+\sqrt{3}y=\sqrt{2}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng 2 pt ta đc: x=1
Thay vào (1):\(\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
Vậy (x;y)\(=\left(1;\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\)
Những câu sau làm ttự.
#Walker
LT
24 tháng 3 2020
ủa nhưng khi thay x,y vào phương trình đầu tiên thì kết quả không bằng 1 ?
\(ĐK:x+y\ge0;x-y\ge0;x,y\ge0\)
\(PT\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x+y}-1+\sqrt{x-y}-\sqrt{x^2-y^2}=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{x+y-1}{\sqrt{x+y}+1}+\dfrac{x-y-x^2+y^2}{\sqrt{x-y}+\sqrt{x^2-y^2}}=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{x+y-1}{\sqrt{x+y}+1}+\dfrac{\left(y-x\right)\left(x+y-1\right)}{\sqrt{x-y}+\sqrt{x^2-y^2}}=0\\ \Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+y}+1}+\dfrac{y-x}{\sqrt{x-y}+\sqrt{x^2+y^2}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y-1=0\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+y}-1}+\dfrac{y-x}{\sqrt{x-y}+\sqrt{x^2+y^2}}>0\right)\)
\(\Leftrightarrow y=x-1\)
Thế vào \(PT\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=1\left(x\ge1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}-1+\sqrt{x-1}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-1}{\sqrt{x-1}}=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\right)=0\\ \Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow y=0\)
Vậy ...
anh ơi chắc j \(\dfrac{1}{\sqrt{x+y}-1}+\dfrac{y-x}{\sqrt{x-y}+\sqrt{x^2+y^2}}>0\)