Cho x , y > 0 thỏa mãn log x + 3 y x y = x y - x - 3 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 1 + 3 y + 9 y 2 1 + x
A. 10
B. 71 7
C. 72 7
D. 73 7
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án B
Ta có log(x + 2y) = log x + log y
<=> log 2 (x+2y) = log 2xy
<=> 2 (x+2y) = 2xy (*).
Đ ặ t a = x > 0 b = 2 y > 0 , khi đó
* ⇔ 2 a + b = a b
và P = a 2 1 + b + b 2 1 + a ≥ a + b 2 a + b + 2
Lại có a b ≤ a + b 2 4 ⇒ 2 a + b ≤ a + b 2 4 ⇔ a + b ≥ 8 .
Đặt t = a + b, do đó
P ≥ f t = t 2 t + 2 .
X é t h à m s ố f t = t 2 t + 2 t r ê n [ 8 ; + ∞ )
c ó f ' t = t 2 + 2 t t + 2 2 > 0 ; ∀ ≥ 8
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên [ 8 ; + ∞ )
Vậy gía trị nhỏ nhất của biểu thức P là 32 5 .
Theo đầu bài ta có: log 2x+ log2y=log4(x+y) hay 2 log 2(xy) =log2(x+y)
Suy ra x+y=(xy) 2
Đặt u= x+ y; v= xy ta có điều kiện u2-4v≥0; u>0; v>0 .
Mà
Ta có
nên minP= 2 4 3 khi
Chọn A.
có: \(\dfrac{1}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\dfrac{1}{1-2xy}\)(1)
có \(\dfrac{1}{xy}=\dfrac{2}{2xy}\left(2\right)\)
từ(1)(2)=>A=\(\dfrac{1}{1-2xy}+\dfrac{2}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)
=>Min A=(1+\(\sqrt{2}\))^2
\(P=\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{3y}=\dfrac{3}{x}+\dfrac{\dfrac{1}{3}}{y}\ge\dfrac{\left(\sqrt{3}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{x+y}=\dfrac{\dfrac{16}{3}}{\dfrac{4}{3}}=4\)
\(min_P=4\Leftrightarrow x=1;y=\dfrac{1}{3}\)
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x+y-x}}+\dfrac{y}{\sqrt{x+y-y}}=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{x^2}{x\sqrt{y}}+\dfrac{y^2}{y\sqrt{x}}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\dfrac{x+y}{2}.\left(1.\sqrt{x}+1.\sqrt{y}\right)}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\dfrac{x+y}{2}.\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x+y\right)}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
"=" khi x = y = 1/2