Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt Cô-si \(1=x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
Ta có \(A=\frac{-2xy}{1+xy}\ge\frac{-\frac{2.1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Vì x>0; y>0
Nên áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}=2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)
Mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)
Nên \(\frac{1}{2}\ge2.\frac{1}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\frac{1}{4}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\)
\(\Rightarrow4\le\sqrt{xy}\) (C)
Ta có: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{\sqrt{xy}}\)
Thế (C) vào ta được: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
Vậy AMin = 4 khi và chỉ khi x = y
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{2}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow x+y>=8\left(1\right)\)(bđt svacxo)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\frac{1}{2}>=\frac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\sqrt{xy}>=4\Rightarrow2\sqrt{xy}>=8\left(2\right)\)(bđt cosi)
từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow x+2\sqrt{xy}+y>=8+8=16\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2>=16\)
mà \(\sqrt{x}>0;\sqrt{y}>0\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}>=4\)
dấu = xảy ra khi x=y=4
vậy min A là 4 khi x=y=4
có: \(\dfrac{1}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\dfrac{1}{1-2xy}\)(1)
có \(\dfrac{1}{xy}=\dfrac{2}{2xy}\left(2\right)\)
từ(1)(2)=>A=\(\dfrac{1}{1-2xy}+\dfrac{2}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)
=>Min A=(1+\(\sqrt{2}\))^2
\(A=2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(2x+\frac{1}{x}\right)+\left(2y+\frac{1}{y}\right)-\left(x+y\right)\)
Áp dụng cô-si cho từng cặp là ok,,,,
Riêng cặp cuối \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{2}\Leftrightarrow-\left(x+y\right)\ge-\sqrt{2}\)