Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa đường tròn cố định.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 1
b.
Gọi I là điểm chính giữa cung AB \(\Rightarrow I\) cố định
Đồng thời ta có \(IA=IB\Rightarrow\Delta IAB\) vuông cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=45^0\)
Qua B kẻ đường thẳng vuông góc AB cắt AI kéo dài tại F \(\Rightarrow F\) cố định
Tam giác ABF vuông cân tại B (tam giác vuông có 1 góc \(\widehat{BAI}=45^0\))
\(\Rightarrow\widehat{AFB}=45^0\)
Đồng thời suy ra 3 điểm A,B,F thuộc đường tròn tâm I bán kính AI cố định.
\(BCDE\) là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{CDB}=45^0\Rightarrow\widehat{AFB}=\widehat{ADB}=45^0\)
Lại có F, D nằm cùng 1 phía nửa mặt phẳng bờ AB
\(\Rightarrow AFDB\) nội tiếp (2 góc bằng nhau cùng chắn AB)
\(\Rightarrow D\) thuộc đường tròn (I;IA) cố định khi C di động
c.
Do F thuộc (I;IA) \(\Rightarrow IB=ID\Rightarrow I\) thuộc trung trực của BD
Mà ABCD là hình vuông \(\Rightarrow AC\) là trung trực của BD
\(\Rightarrow I\in AC\)
Vậy CE luôn đi qua điểm I cố định
d.
\(\widehat{CEB}=45^0\) (BCDE là hình vuông), mà I, C, E thẳng hàng theo cmt
\(\Rightarrow\widehat{IEB}=\widehat{IFB}=45^0\)
Lại có E, F nằm cùng phía nửa mặt phẳng bờ IB
\(\Rightarrow EBIF\) nội tiếp
\(\Rightarrow E\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác IBF cố định
e.
Gọi G là tâm hình vuông \(\Rightarrow BD\) và CE vuông góc nhau tại G
\(\Rightarrow\widehat{CGB}=90^0\)
Do I, C, E thẳng hàng \(\Rightarrow\widehat{IGB}=90^0\)
\(\Rightarrow G\) thuộc đường tròn đường kính IB cố định
Xem E là ảnh của A qua phép quay tâm B, góc 90 ο . Khi A chạy trên nửa đường tròn (O), E sẽ chạy trên nửa đường tròn (O') là ảnh của nửa đường tròn (O) qua phép quay tâm tâm B, góc 90 ο .