Question

[Mai Tiến Đỗ]

Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn các điều kiện \(\left(a+c\right)\left(b+c\right)=4c^2\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}\)

Bài 2: Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 và \(x^2+y^2+z^2=1\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=x^5+y^5+z^5\)

Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn \(a+b+c=1.\)Tìm Min

\(P=2020\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{1}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Bài 4: Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Tìm GTLN của biểu thức \(P=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

2.

\(xy+yz+zx=\frac{\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}=-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow yz=-\frac{1}{2}-x\left(y+z\right)=-\frac{1}{2}-x\left(-x\right)=x^2-\frac{1}{2}\)

Ta có:

\(x+y=-z\Leftrightarrow\left(x+y\right)^5=-z^5\)

\(\Leftrightarrow x^5+y^5+z^5=-5x^4y-10x^3y^2-10x^2y^3-5xy^4\)

\(\Leftrightarrow x^5+y^5+z^5=-5xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)\)

\(\Leftrightarrow P=-5xy\left[\left(x+y\right)^3-xy\left(x+y\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow P=-5xy\left[-z^3+xyz\right]=5xyz\left(z^2-xy\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{5}{2}xyz\left(z^2+\left(x+y\right)^2-2xy\right)=\frac{5}{2}xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{5}{2}xyz=\frac{5}{2}x\left(x^2-\frac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow P^2=\frac{25}{4}x^2\left(\frac{1}{2}-x^2\right)^2=\frac{25}{8}.2x^2\left(\frac{1}{2}-x^2\right)\left(\frac{1}{2}-x^2\right)\)

\(\Rightarrow P^2\le\frac{25}{8}\left(\frac{2x^2+\frac{1}{2}-x^2+\frac{1}{2}-x^2}{3}\right)^3=\frac{25}{216}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{5\sqrt{6}}{36}\)

\(P_{max}=\frac{5\sqrt{6}}{36}\) khi \(x=-\frac{1}{\sqrt{6}}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

3.

Xét \(Q=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)

\(Q^2=\frac{a^4}{b^2}+\frac{2a^2b}{c}+c^2+\frac{b^4}{c^2}+\frac{2b^2c}{a}+a^2+\frac{c^4}{a^2}+\frac{2c^2a}{b}+b^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow Q^2\ge4\sqrt[4]{\frac{a^4.a^2b.a^2b.c^2}{b^2c^2}}+4\sqrt[4]{\frac{b^4.b^2c.c^2c.a^2}{c^2a^2}}+4\sqrt[4]{\frac{c^4.c^2a.c^2a.b^2}{a^2b^2}}-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow Q^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\Rightarrow Q\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Đặt \(x=a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P\ge2020\sqrt{3x}+\frac{1}{3x}=\sqrt{3x}+\sqrt{3x}+\frac{1}{3x}+2018\sqrt{3x}\)

\(\Rightarrow P\ge3\sqrt[3]{\frac{3x}{3x}}+2018.\sqrt{3.\frac{1}{3}}=2021\)

\(P_{min}=2021\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)