Cho x, y > 0 va x + y <= 1 . Chung minh rang :\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
2
9 tháng 1 2019
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) được
\(VT\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1/2
Vậy ...........
10 tháng 1 2019
Cũng ko hẳn là cách khác nhưng xem cho vui v :)
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}=\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\ge4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{2}\)
25 tháng 1 2018
Đặt : A = 1/x^2+xy + 1/y^2+xy
Có : A = 1/x.(x+y) + 1/y.(x+y) = 1/x + 1/y ( vì x+y = 1 )
Áp dụng bđt 1/a + 1/b >= 4/a+b với mọi a,b > 0 cho x,y > 0 thì :
A >= 4/x+y = 4/1 = 4
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2
=> ĐPCM
Tk mk nha
17 tháng 7 2019
Bài 1:
Theo BĐT AM-GM có :$(x+y+1)(x^2+y^2)+\dfrac{4}{x+y}\geq (x+y+1).2xy+\dfrac{4}{x+y}=2(x+y+1)+\dfrac{4}{x+y}=(x+y)+(x+y)+\dfrac{4}{x+y}+2\geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{(x+y).\dfrac{4}{x+y}}+2=2+4+2=8$(đpcm)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=y, xy=1\) và \(x+y=2\) hay \(x=y=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(x^2+y^2\geq 2xy=2\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}(1)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
\(2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}=(x+y+2)+[(x+y)+\frac{4}{x+y}]\)
\(\geq (2\sqrt{xy}+2)+2\sqrt{(x+y).\frac{4}{x+y}}=(2+2)+4=8(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
DT
0
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
\(P=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-3xy\right)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}=4+2\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{3+\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\\y=\frac{3-\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\end{matrix}\right.\) và hoán vị
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
Cụ thể hơn:
\(\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\)
\(=\frac{1^2}{1-3xy}+\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}\)
Dấu "=" xảy ra khi
\(\frac{1-3xy}{1}=\frac{3xy}{\sqrt{3}}\Rightarrow1-3xy=\sqrt{3}xy\)
20 tháng 11 2017
câu 1 bình phg chuyển vế cậu sẽ thấy điều kì diệu
câu 2 adbđt \(8\sqrt[4]{4x+4}=4\sqrt[4]{4.4.4\left(x+1\right)}\le x+13\)
VT
7
19 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Dấu = xaỷ ra khi x=y=1/2
VT
19 tháng 8 2017
BĐT schwarz mk chưa học đến bn có thể giúp mình cách khác đc ko
9 tháng 8 2017
2) Ta có:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà x+y=1 nên suy ra:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\ge8\)
=>đpcm.
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=1/2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Cần chỉ ra \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)
Ta có : \(x+y\le1\)
=> \(\left(x+y\right)^2\le1\)
=> \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge1\)( nghịch đảo )
=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( nhân 4 vào cả hai vế )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2