Cho a,b,c là các số dương và abc=1.CMR
1/a2+2b2+3 +1/b2+2c2+3 +1/c2+2a2+3《1/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
I
0
TH
1
TD
0
TD
1
3 tháng 4 2023
Sửa đề: 1+a^2;1+b^2;1+c^2
\(\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+c+ac}}=\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)
\(\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}\right)\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\)
=>\(A< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Ta có: \(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)};\)\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ca+a+1\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{c}{abc+bc+c}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{bc}{abc^2+abc+bc}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{c}{bc+c+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{bc}{bc+c+1}\right)=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1