Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\text{Δ}=\left(-8\right)^2-4\cdot\left(-3\right)\cdot\left(m-1\right)\)
\(=64+12\left(m-1\right)\)
=64+12m-12
=12m+52
a: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 7 thì
\(\left\{{}\begin{matrix}12m+52>0\\8< 14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>-\dfrac{13}{4}\)
b: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 7 thì \(\left\{{}\begin{matrix}12m+52>0\\8>14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(x-2\right)^2-4\right]^2-3\left(x-2\right)^2+m=0\)
\(\left(x-2\right)^2=t\ge0\Rightarrow pt\Leftrightarrow\left(t-4\right)^2-3t+m=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-11t+16+m=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=11^2-4\left(16+m\right)>0\\x_1+x_2=11>0\left(tm\right)\\x_1x_2=16+m>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{57}{4}\\m< 16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< \dfrac{57}{4}\)
d: Ta có: \(\text{Δ}=\left(m+1\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m+3\right)\)
\(=m^2+2m+1-8m-24\)
\(=m^2-6m-23\)
\(=m^2-6m+9-32\)
\(=\left(m-3\right)^2-32\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left(m-3\right)^2>32\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-3>4\sqrt{2}\\m-3< -4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4\sqrt{2}+3\\m< -4\sqrt{2}+3\end{matrix}\right.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1-x_2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1=\dfrac{m+3}{2}\\x_2=x_1-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+3}{4}\\x_2=\dfrac{m+3}{4}-\dfrac{4}{4}=\dfrac{m-1}{4}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m+3\right)\left(m-1\right)}{16}=\dfrac{m+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-1\right)=8\left(m+3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=9\end{matrix}\right.\)
a, Thay m vào pt ta được :
(3+1).x2-2(3+1).x+3-3=0
\(\Leftrightarrow\)4x2-8x=0
\(\Leftrightarrow4x\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\\x-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)
Vậy m=3 phương trình có 2 nghiệm là 0 và 2
b, Theo Vi et ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m+1}\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{m+1}\end{matrix}\right.\left(vớim\ne-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m+1}\\x_1+x_2=2\end{matrix}\right.\) (1)
Ta có : (4x1+1)(4x2+1)=18
\(\Leftrightarrow16x_1.x_2+4x_1+4x_2+1=18\)
\(\Leftrightarrow16.x_1.x_2+4\left(x_1+x_2\right)=17\) (2)
Thay (1) vào (2) ta được :
16.\(\dfrac{m-3}{m+1}+4.2=17\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{16m-48}{m+1}=9\)
\(\Leftrightarrow9\left(m+1\right)=16m-48\)
\(\Leftrightarrow9m+9=16m-48\)
\(\Leftrightarrow7m=57\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{57}{7}\) (thỏa mãn m\(\ne-1\))
Vậy ..
b) phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-m^2-3m+m+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow-4m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\le1\)
Ta có: \(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)
Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)^2\right]-2\left(m+3\right)=1\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-10m-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{4}\left(ktm\right)\\m_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\)
Phương trình có 2 nghiệm pb khi:
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+m-3>0\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-2>0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>2\end{matrix}\right.\)
a.
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+5\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)-m=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-5\right)\left(x^2+4x+3\right)-m=0\)
Đặt \(x^2+4x-5=t\Rightarrow x^2+4x-5-t=0\) (1)
Pt đã cho trở thành:
\(t\left(t+8\right)-m=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+8t-m=0\) (2)
Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb đồng thời (2) cũng có 2 nghiệm pb thỏa mãn điều kiện từ (1)
Xét (1) \(\Leftrightarrow\Delta'=4-\left(-5-t\right)>0\Leftrightarrow t>-9\)
Do đó (2) phải có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(t_1>t_2>-9\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=16+m>0\\\left(t_1+9\right)\left(t_2+9\right)>0\\\frac{t_1+t_2}{2}>-9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-16\\t_1t_2+9\left(t_1+t_2\right)+81>0\\t_1+t_2>-9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-16\\-m+9.\left(-8\right)+81>0\\-8>-18\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-16\\m< 9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-16< m< 9\)
b.
Tương tự câu a (nhưng biện luận theo 1 cách khác chút xíu, thích xài cách cũ hay cách này cũng được):
\(\Leftrightarrow\left(x^4-8x^3+16x^2\right)-\left(6x^2-24x\right)-m=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x\right)^2-6\left(x^2-4x\right)-m=0\)
Đặt \(x^2-4x=\left(x-2\right)^2-4=t\ge-4\) (1)
Phương trình trở thành:
\(t^2-6t-m=0\) (2)
Từ điều kiện (1) ta thấy pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(t_1>t_2>-4\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=9+m>0\\\left(t_1+4\right)\left(t_2+4\right)>0\\\frac{t_1+t_2}{2}>-4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-9\\t_1t_2+4\left(t_1+t_2\right)+16>0\\3>-4\left(\text{luôn thỏa mãn}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-9\\-m+24+16>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow-9< m< 40\)