Cho tam giác ABC .Phía ngoài tam giác dựng các điểm D,E,F sao cho các tam giác BCD,CAE,ABF đều .Cm ABC và DEF có cùng trọng tâm
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét ΔDAF và ΔEBD có
DA=EB
góc DAF=góc EBD(=120 độ)
AF=BD
=>ΔDAF=ΔEBD
=>DF=ED
Xét ΔFCE và ΔEBD có
FC=EB
góc FCE=góc EBD
CE=BD
=>ΔFCE=ΔEBD
=>FE=ED
=>FE=ED=DF
=>ΔDEF đều
Từ A hạ AH vuông góc với BC tại H. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Nối MD cắt EF tại O.
Bằng 2 bổ đề đơn giản, ta dễ thấy:
\(\Delta\)MEF vuông cân (Gợi ý: Hạ EP vuông góc AB, FQ vuông góc AC)
Và HF là phân giác ^AHC (Gợi ý: Kẻ FI vuông góc AH và FK vuông góc BC)
Từ \(\Delta\)MEF vuông cân (tại M) kết hợp với \(\Delta\)DEF vuông cân
=> Tứ giác MEDF là hình vuông => OM=OD=OE=OF (1)
Từ HF là phân giác ^AHC, tương tự thì HE là phân giác ^AHB => ^EHF = (^AHB + ^AHC)/2 = 900
=> \(\Delta\)HEF vuông tại H có trung tuyến HO nên OH = OE=OF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OH=OD=OM => \(\Delta\)DHM vuông tại H hay DH vuông góc BC
Mà AH cũng vuông góc BC nên tia HA trùng HD => 3 điểm D,A,H thẳng hàng.
Dẫn đến AD cũng vuông góc BC (đpcm).
Xét tam giác ABD và tam giác FBC có:
AB=FB ( cạnh tam giác đều FAB)
DB=BC ( cạnh tam giác đều DBC)
góc ABD = góc FBC ( cùng bằng góc ABC + 60 độ)
Suy ra tam giác ABD = tam giác FBC (C.G.C)
=> FC=AD
Vẽ hình bình hành DAFH.
Gọi N là giao điểm của hai đường chéo DF và AH, M là giao điểm của EH và BC
Ta có NA = NH, ND = NF
Ta đặt ^ADH = ^AFH = \(\alpha\)thì ^BDH = ^HFC = \(\alpha\)+ 600
^DAF = 1800 -\(\alpha\)
^BAC = 3600 - ^BAD - ^CAF - ^DAF = 3600 - 600 - 600 - (1800 - \(\alpha\)) = \(\alpha\)+ 600
\(\Delta\)BDH và \(\Delta\)HFC có: BD = HF (= AD); ^BDH = ^HFC (cmt); DH = FC (= AF)
Do đó \(\Delta\)BDH = \(\Delta\)HFC (c.g.c) => HB = HC (1)
Chứng minh tương tự, ta được \(\Delta\)BAC = \(\Delta\)HFC (c.g.c) => BC = HC (2)
Từ (1) và (2) suy ra HB = HC = BC
Tứ giác BHCE có các cặp cạnh đối bằng nhau (cùng bằng BC) nên là hình bình hành => MB = MC và MH = ME
- Xét ∆AEH có AM và AN là hai đường trung tuyến nên giao điểm G của chúng là trọng tâm => EG = 2/3EN và AG = 2/3AM.
- Xét ∆ABC có AM là đường trung tuyến mà AG = 2/3AM nên G là trọng tâm của ∆ABC
- Xét ∆EDF có EN là đường trung tuyến mà EG = 2/3EN nên G là trọng tâm của∆EDF
Vậy ∆ABC và ∆EDF có cùng trọng tâm G