Tìm nguyện nguyên dương
\(\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
1
18 tháng 10 2020
\(\Leftrightarrow x+y+3+2\sqrt{x+y+3}+1=x+2\sqrt{xy}+y\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y+3}=\sqrt{xy}-2\Leftrightarrow x+y+3=xy-4\sqrt{xy}+4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}=\frac{xy-x-y+1}{4}\)
Nếu xy không là số chính phương thì VT là số vô tỉ còn VP là số hữu tỉ (vô lý)
Vậy \(xy=k^2\Rightarrow\sqrt{xy}=k\)
Ta có : \(x+y+3=xy-4\sqrt{xy}+4\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}=xy-2\sqrt{2xy}+1\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=\left(\sqrt{xy}+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1\)(*)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y}=k-1-\sqrt{x}\Leftrightarrow y=\left(k-1\right)^2-2\left(k-1\right)\sqrt{x}+x\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{\left(k-1\right)^2+x-y}{2\left(k-1\right)}\)( vì .....k>2)
Nếu x không là số chính phương thì VT là số vô tỉ, VP là hữu tỉ(vô lý)
Vậy x là số chính phương , tương tự y là số chính phương.
Đặt \(x=a^2;y=b^2\), từ (*) \(a+b=ab+1\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=2\)
Ta tìm được (a;b)=(2;3);(3;2)=> (x;y)=(4;9);(9;4)
PX
0
NM
2
3 tháng 6 2021
\(\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
Bình phương 2 vế, ta có:
\(x+y+3+1=x+y\)
\(x+y+3+1-x-y=0\)
\(4=0\) (vô lý)
Vậy phương trình vô nghiệm
-Chúc bạn học tốt-
KC
0
T
30 tháng 12 2018
Dùng thẳng cô si vào VT luôn cho nhanh :v!
ĐK: \(x,y,z>0\)
Ta có: \(VP=\frac{1}{2}\left(y+3\right)=\frac{y+3}{2}\)
Mặt khác theo cô si,ta có
\(VT\le\frac{1+x}{2}+\frac{1+y-z}{2}+\frac{1+z-x}{2}\)\(=\frac{y+3}{2}=VP\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y-z=1\\z-x=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y-z=1\\z-1=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\z=2\\y-2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\\z=2\end{cases}}\)
Vậy ...
Quá nhanh quá ngu hiểm :v.Lâu lắm mới nghĩ ra được cách thế này.Nãy ngồi bình phương suốt mà làm hoài không ra.
13 tháng 7 2016
Đặt \(a=\sqrt{2x-3}\) ; \(b=\sqrt{y-2}\) ; \(c=\sqrt{3z-1}\) (\(a,b,c>0\))
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{16}{c}+a+b+c=14\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x-3}+\frac{1}{\sqrt{2x-3}}-2\right)+\left(\sqrt{y-2}+\frac{4}{\sqrt{y-2}}-4\right)+\left(\sqrt{3z-1}+\frac{16}{\sqrt{3z-1}}-8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{\left(2x-3\right)-2\sqrt{2x-3}+1}{\sqrt{2x-3}}\right]+\left[\frac{\left(y-2\right)-4\sqrt{y-2}+4}{\sqrt{y-2}}\right]+\left[\frac{\left(3z-1\right)-8\sqrt{3z-1}+16}{\sqrt{3z-1}}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{2x-3}-1\right)^2}{\sqrt{2x-3}}+\frac{\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2}{\sqrt{y-2}}+\frac{\left(\sqrt{3z-1}-4\right)^2}{\sqrt{3z-1}}=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{2x-3}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2=0\\\left(\sqrt{3z-1}-4\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=\frac{17}{3}\end{cases}}}\)(TMĐK)
Vậy : \(\left(x;y;z\right)=\left(2;6;\frac{17}{3}\right)\)
Y
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2021
\(\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{yz}=\left(x-y-z\right)+2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow4yz=\left(x-y-z\right)^2+12+4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)\)
\(\Rightarrow4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)=4yz-12-\left(x-y-z\right)^2\) (1)
\(\sqrt{3}\) là số vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi: \(x-y-z=0\)
Thay ngược vào (1) \(\Rightarrow yz=3\Rightarrow\left(y;z\right)=\left(1;3\right);\left(3;1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\Rightarrow x=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\)
\(\Leftrightarrow x+y+3=x+y+1+2\sqrt{xy}-2\sqrt{x}-2\sqrt{y}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y}+1=\sqrt{x}\left(\sqrt{y}-1\right)\)
- Với \(y=1\) ko phải là nghiệm
- Với \(y>1\) , do vai trò của x và y hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x\le y\)
+ Với \(x=\left\{1;2;3\right\}\) ko thỏa mãn
+ Với \(x\ge4\Rightarrow\sqrt{y}+1=\sqrt{x}\left(\sqrt{y}-1\right)\ge2\left(\sqrt{y}-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y}\le3\Rightarrow y\le9\Rightarrow4\le y\le9\)
Lần lượt thử \(y\) từ 4 đến 9 ta được các cặp nghiệm của pt là \(\left(x;y\right)=\left(4;9\right);\left(9;4\right)\)