Chứng minh \(C^k_{2001}+C^{k+1}_{2001}\le C^{1000}_{2001}+C^{1001}_{2001}\)\(\forall k\in\left[0;2000\right]\)giao Z
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ĐK: a,b,c \(\ne\) 0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
Lại có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)
Với \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{b+c}{bc}=0\) \(\Rightarrow\) b + c = 0 (vì bc \(\ne\) 0 do a,b,c \(\ne\) 0)
\(\Rightarrow\) b = -c \(\Rightarrow\) b5 = (-c)5 \(\Rightarrow\) b5 + c5 = 0
Thay b5 + c5 = 0 vào M ta được:
M = (a19 + b19).(b5 + c5).(c2001 + a2001)
M = (a19 + b19).0.(c2001 + a2001)
M = 0 (đpcm)
Chúc bn học tốt!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(=\frac{2001.\left(2000+2\right)+1000}{2001.\left(2000+3\right)-1001}\)
\(=\frac{2001.2000+2001.2+1000}{2001.2000+2001.3-1001}\)
\(=\frac{2001.2+1000}{2001.3-1001}\)
\(=\frac{2001.2+1000}{2001.2+2001-1001}\)
\(=\frac{2001.2+1000}{2001.2+1000}\)
\(=1\)
2001 x 2002 + 1000 / 2001 x 2003 - 1001 = 2001 x 2002 + 1000 / 2001 x (2002 + 1) - 1001 = 2001 x 2002 + 1000 / 2001 x 2002 + 2001 - 1001 = 1000 / 2001 - 1001 = 1000 / 1000 = 1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
phần a nhé
1/a+1/b+1/c=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a) do a+b+c=1
áp dụng bdt cosi cho các so dương a/b,b/a,a/c,c/a,b/c,c/b
a/b+b/a >=2
b/c+c/b>=2
a/c+c/a>=2
cộng hết vào suy ra 1/a+1/b+1/c >=9
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
C = 1 + (-3) + 5 + (-7) +...+ 2001 + (-2003)
C= (1 - 2003) + (2001 - 3) + (5 - 1999) + (1997 - 7) +...+ (1001 - 1003)
C= -2002 + 1998 - 1994 + 1990 +....-2
C= (-4) + (-4) +....+ (-4) - 2 (250 cặp (-4) )
C= 250 x (-4) - 2
C= -1000 - 2 = -1002
D = (-1001) + (-1000) + (-999) +...+ 1001 + 1002
D= (1001 - 1001) + (1000 - 1000) +...+ (1-1) + 0 + 1002
D= 0 + 0 +... + 0 + 0 + 1002
D= 1002
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có :
\(b^2=ac\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\)
\(c^2=bd\Leftrightarrow\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{b^3}{c^3}=\dfrac{c^3}{d^3}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)
Mà \(\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{a}{b}.\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{d}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\dfrac{a}{d}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
. là x á nha
=\(\frac{2006}{2008}.\frac{2001}{2004}.\frac{2008}{2002}.\frac{2004}{2006}.\frac{1001}{2001}\)
=\(\frac{2006.2001.2008.2004.1001}{2008.2004.2002.2006.2001}\)
=\(\frac{1001}{2002}\)
= \(\frac{2006\cdot2001\cdot2008\cdot2004\cdot1001}{2008\cdot2004\cdot2002\cdot2006\cdot2001}\)
= \(\frac{1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1001}{1\cdot1\cdot2002\cdot1\cdot1}\)
= \(\frac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=2001+2001^2+...+2001^9\)
\(\Rightarrow2001A=2001^2+2001^3+...+2001^{10}\)
\(\Rightarrow2001A-A=\left(2001^2+2001^3+...+2001^{10}\right)-\left(2001+2001^2+...+2001^9\right)\)\(\Rightarrow2000A=2001^{10}-1\)
\(\Rightarrow A=\frac{2001^{10}-1}{2000}\)
\(\Rightarrow K=2000.\frac{2001^{10}-1}{2000}+1=2001^{10}-1+1=2001^{10}\)
Vậy K=200110
Ta có công thức Pascal: \(C^m_n+C^{m+1}_n=C^{m+1}_{n+1}\)
Áp dụng vào biểu thức đề cho, ta được: \(C^{k+1}_{2002}\le C^{1001}_{2002}\)
Điều này đúng với mọi (k+1) đi từ 1 đến 2001 (Ta có thể dễ dàng nhận ra điều này khi nhìn vào tam giác Pascal để nhận xét rằng hệ số ngay chính giữa luôn lớn nhất)
Chứng minh: Xét \(C^{k+1}_{2002}-C^k_{2002}=\frac{2002!}{\left(2002-k-1\right)!.\left(k+1\right)!}-\frac{2002!}{\left(2002-k!\right).k!}\)
\(=\frac{2002!.\left(2002-k\right)}{\left(2002-k\right)!.\left(k+1\right)!}-\frac{2002!.\left(k+1\right)}{\left(2002-k\right)!.\left(k+1\right)!}=\frac{2002!}{\left(2002-k\right)!.\left(k+1!\right)}\left(2001-2k\right)\)
+) \(k< 1000,5\Rightarrow2001-2k>0\Rightarrow C^{k+1}_{2002}-C^k_{2002}>0\Rightarrow C^{k+1}_{2002}>C^k_{2002}\)
+) \(k>1000,5\Rightarrow2001-2k< 0\Rightarrow C^{k+1}_{2002}-C^k_{2002}< 0\Rightarrow C^{k+1}_{2002}< C^k_{2002}\)
Vậy dãy số gồm các số hạng có dạng \(C_{2002}^{k+1}\)sẽ tăng dần khi k đi từ 1 tới 1001,5 và giảm dần khi k đi từ 1001,5 tới 2001.
Vậy \(C_{2002}^{k+1}\)lớn nhất khi \(k+1=1001\)---> ĐPCM