Question

[Trần Đại Nghĩa]

Số \(3^{50}+1\) có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp không?

Answer 1

[Khanh Nguyễn Ngọc]

Giả sử 3⁵⁰+ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp thật.

Gọi số nhỏ hơn là a

Theo đề: \(a\left(a+1\right)=3^{50}+1\Leftrightarrow a^2+a-\left(3^{50}+1\right)=0\)(1)

Phương trình (1) có nghiệm tự nhiên thì  \(\sqrt{\Delta}\)phải là số tự nhiên

---> Khi và chỉ khi \(\Delta\)là số chính phương

Chú ý rằng: Số chính phương chỉ có thể có dạng 3k hoặc 3k+1, k là số tự nhiên

Chứng minh: Với số chia 3 dư 1: \(\left(3n+1\right)^2=9n^2+6n+1=3\left(3n^2+2n\right)+1=3k+1\)

Với số chia 3 dư 2: \(\left(3n+2\right)^2=9n^2+12n+4=3\left(3n^2+4n+1\right)+1=3k+1\)

Với số chia hết cho 3 thì rõ ràng bình lên mang dạng 3k rồi ha.

Xét \(\Delta=1+4\left(3^{50}+1\right)=4.3^{50}+5=3\left(4.3^{49}+1\right)+2=3k+2\)

Vậy \(\Delta\)không là số chính phương (hay có thể khẳng định\(\sqrt{\Delta}\) là vô tỉ lun)

Nên các nghiệm của phương trình (1) không là sô tự nhiên

---> Kết luận: bla bla bla bla bla......