Chứng minh rằng bất đẳng thức | cos (x) | ≥ 1 - sinmũ2 (x) đúng với mọi x ∈ R.
Giúp mình với ạ!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 2 2022
Dễ thấy:
\(VT\ge\left(x+y\right)^2+1-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\)
Áp dụng Cô-si:
\(\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}.1}=\sqrt{3}\left|x+y\right|\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Do đó:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right),\forall x,y\in R\)
KN
7 tháng 9 2020
\(5x^2+10y^2-6xy-4x-10y+14\)
\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(y^2-10y+25\right)-12\)
\(=\left(2x-1\right)^2+\left(x-3y\right)^2+\left(y-5\right)^2-12\ge-12\) đề có nhầm không bạn?
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2021
Bài 1:
Vì $a\geq 1$ nên:
\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)
\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2021
Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$
Xét hàm:
\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)
\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)
Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ
\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất
Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.
1 tháng 5 2021
\(\dfrac{x^2+4}{4}\ge x\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(x^2+4\right)}{4}\ge4x\)
\(\Leftrightarrow x^2+4\ge4x\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\ge0\) (Luôn đúng)
Vậy đẳng thức ban đầu được chứng minh.
1 tháng 5 2021
\(\dfrac{x^2+4}{4}\ge x\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+4}{4}\ge\dfrac{4x}{4}\)
\(\Leftrightarrow x^2+4+4x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
C
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 10 2023
Nếu chứng minh $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=1$ thì không có đủ cơ sở để cm bạn nhé. Bạn viết lại đề hoặc bổ sung thêm điều kiện để mọi người trợ giúp tốt hơn.
DK
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2020
Lời giải:
$x^2+x+1=x^2+2.x.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$
$=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$
$\geq 0+\frac{3}{4}$
$> 0$
Ta có đpcm.
LT
1
17 tháng 5 2016
\(e^x\ge x+1\) với mọi \(x\in R\) \(\Leftrightarrow e^x-x-1\ge0\) với mọi \(x\in R\)
Xét hàm số \(f\left(x\right)=e^x-x-1\) với mọi \(x\in R\)
Ta có : \(f'\left(x\right)=e^x-1=0\Leftrightarrow x=0\)
và : \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(e^x-x-1\right)=+\infty\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(e^x-x-1\right)=+\infty\)
Xét bảng biến thiên :
Từ bảng biến thiên ta có : \(f\left(x\right)\ge0\) với mọi \(x\in R\)
hay : \(e^x-x-1\ge0\) với mọi \(x\in R\)
=> Điều phải chứng minh
\(\Leftrightarrow\left|cosx\right|\ge cos^2x\)
\(\Leftrightarrow\left|cosx\right|-\left|cosx\right|^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left|cosx\right|\left(1-\left|cosx\right|\right)\ge0\) (1)
Do \(0\le\left|cosx\right|\le1\Rightarrow1-\left|cosx\right|\ge0\) với mọi x
\(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn đúng với mọi x (đpcm)