Cho
A= \(\frac{5\sqrt{37}-28}{\sqrt{37}-\sqrt{6}}-\frac{8\sqrt{37}+49}{\sqrt{37}+2}-\frac{\sqrt{111}+9\sqrt{37}}{\sqrt{3}+9}\)
CMR: A có giá trị nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 9 2018
a) -90/189 + 45/84 - 78/126
= -10/21 + 15/28 - 13/21
= (-10/21 - 13/21) + 15/28
= -24/21 + 15/28
= -17/28
2 tháng 8 2016
Đặt : \(\hept{\begin{cases}a=\frac{3-\sqrt{37}}{2}\\b=\frac{3+\sqrt{37}}{2}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=3\\ab=7\end{cases}\Rightarrow}a,b}\)là nghiệm của PT : \(x^2-3x-7=0\)
Ta cần chứng minh : \(\left(\frac{3-\sqrt{37}}{2}\right)^n+\left(\frac{3+\sqrt{37}}{2}\right)^n=a^n+b^n\in Z\)( * )
Thật vậy :
\(+n=1\)( * ) đúng
Giả sử * đúng vs n = k nghĩa là : \(a^k+b^k\in Z\)
Vậy ta cần CM : \(a^{k+1}+b^{k+1}\in Z\)
Do \(a^{k+1}+b^{k+1}=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{k-1}+b^{k-1}\right)\)
Mà \(\hept{\begin{cases}a^k+b^k\in Z\\a^{k-1}+b^{k-1}\in Z\\ab\in Z\end{cases}}\Rightarrow a^{k+1}+b^{k+1}\in Z\)
Vậy * đúng với mọi n nguyên dương
T
2 tháng 8 2016
ĐỀ THIẾU số mũ 2010 kìa
Đặt \(a=\frac{3-\sqrt{37}}{2},b=\frac{3+\sqrt{37}}{2}\)
Có \(\hept{\begin{cases}ab=-14\in Z\\a+b=3\in Z\end{cases}}\)
ta đi c/m bổ đề vs a+b nguyên, ab nguyên thì a^n+b^n nguyên,
c/m:Có \(a^n+b^n=\left(a+b\right)^n-\text{ C1n a^(n-1)b + C2n a^(n – 2)b^2 + … + Cnn – 1 ab^(n – 1) }\)
Do a+b nguyên , ab nguyên nên a^n+b^n nguyên
áp dụng bài toán trên với n=2010 => dpcm
với Cnn là tổ hợp châp n của n với n chyaj từ 1 đến n
9 tháng 4 2020
Bài 1 :
Ta có :
\(\sqrt{37-20\sqrt{3}}+\sqrt{37+20\sqrt{3}}=\sqrt{25-2.5.2\sqrt{3}+12}\)
\(+\sqrt{25+2.5.2\sqrt{3}+12}\)
\(=\sqrt{\left(5-2\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(5+2\sqrt{3}\right)^2}\)
\(5-2\sqrt{3}+5+2\sqrt{3}\)
\(=5+5=10\)
9 tháng 4 2020
Bài 2 :
Với x , y , z > 0 . Ta có :
+ ) \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\left(1\right)\)
+ ) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\left(2\right)\)
+ ) \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\ge1\left(3\right)\)
Xảy ra đăng thức ở : \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Leftrightarrow x=y=z\) . Ta có :
\(P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\left(a+b+c\right)^2.\frac{\left(a+b+c\right)}{abc}\)
\(=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right).\frac{\left(a+b+c\right)}{abc}\)
Áp dụng các bất đẳng thức (1) , (2) , (3) ta được :
\(P\ge\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\left(a^2+b^2+c^2\right).\frac{9}{ab+bc+ca}+2.9\)
\(=\left(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)+8.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+18\)
\(\ge2+8+18=28\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\\ab=bc=ca\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)
12 tháng 9 2018
Ta có: \(a=\sqrt{37}-\sqrt{35}\approx0,16668\).
Mà:
\(\frac{2}{13}\approx0,15385\)
\(\frac{1}{6}\approx0,16667\)
\(\frac{2}{11}\approx0,18182\)
\(\frac{1}{5}=0,2\)
\(\frac{2}{9}\approx0,22222\)
Mà \(0,15385< 0,16667< 0,16668< 0,18182< 0,2< 0,22222\).
\(\Leftrightarrow\frac{2}{13}< \frac{1}{6}< \sqrt{37}-\sqrt{35}< \frac{2}{11}< \frac{1}{5}< \frac{2}{9}\).
Vậy số lớn nhất nhỏ hơn a là \(\frac{1}{6}\), số nhỏ nhất lớn hơn a là \(\frac{2}{11}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 8 2020
\(x=\sqrt{\frac{4}{32-10\sqrt{7}}}-\frac{1}{18}\left(37+2\sqrt{7}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{\left(5-\sqrt{7}\right)^2}}-\frac{37+2\sqrt{7}}{18}+\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(=\frac{2}{5-\sqrt{7}}-\frac{37+2\sqrt{7}}{18}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{10+2\sqrt{7}}{18}-\frac{37+2\sqrt{7}}{18}+\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-3}{2}\)
\(\Rightarrow2x=\sqrt{2}-3\Rightarrow2x+3=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(2x+3\right)^2=2\Rightarrow4x^2+12x+9=2\)
\(\Rightarrow4x^2+12x+7=0\)
Do đó:
\(A=\left[x^3\left(4x^2+12x+7\right)-1\right]^{2016}+2016\)
\(=\left(0-1\right)^{2016}+2016=2017\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 4 2019
Để giá trị của giới hạn là một số thực xác định thì biểu thức trên tử số ít nhất phải có nghiệm kép \(x=1\)
Đặt \(f\left(x\right)=\sqrt{3x-2}+\sqrt[3]{3x+5}+ax+b\)
\(f\left(1\right)=a+b+3=0\Rightarrow b=-3-a\)
Thay ngược lại vào \(f\left(x\right)\)
\(f\left(x\right)=\sqrt{3x-2}+\sqrt[3]{3x+5}+ax-3-a\)
\(f\left(x\right)=\frac{3\left(x-1\right)}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{3\left(x-1\right)}{\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}+a\left(x-1\right)\)
\(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(\frac{3}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{3}{\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}+a\right)\)
\(\Rightarrow\) Để \(f\left(x\right)\) có nghiệm kép \(x=1\) thì
\(g\left(x\right)=\frac{3}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{3}{\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}+a\) có ít nhất một nghiệm \(x=1\)
\(g\left(1\right)=\frac{3}{2}+\frac{3}{4+4+4}+a=0\Rightarrow a=-\frac{7}{4}\Rightarrow b=-\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{3x-2}+\sqrt[3]{3x+5}-\frac{7}{4}x-\frac{5}{4}}{x^2-2x+1}=-\frac{37}{32}\)
\(\Rightarrow P=\frac{-\frac{7}{4}-\frac{5}{4}}{-\frac{37}{32}}=\frac{96}{37}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 4 2019
Chỉ cần viết tử số thôi nhé, ta quy đồng 4 lên rồi đưa 4 xuông mẫu, sau đó tách tử số thành
\(\frac{1}{4}\left(4\sqrt{3x-2}-2\left(3x-1\right)+4\sqrt[3]{3x+5}-\left(x+7\right)\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{2\left[4\left(3x-2\right)-\left(3x-1\right)^2\right]}{2\sqrt{3x-2}+3x-1}+\frac{4^3\left(3x+5\right)-\left(x+7\right)^3}{16\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+4\sqrt[3]{3x+5}\left(x+7\right)+\left(x+7\right)^2}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{2\left(18x-9x^2-9\right)}{2\sqrt{3x-2}+3x-1}+\frac{45x-x^3-21x^2-23}{16\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+4\sqrt[3]{3x+5}\left(x+7\right)+\left(x+7\right)^2}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{-18\left(x^2-2x+1\right)}{2\sqrt{3x-2}+3x-1}+\frac{-\left(x+23\right)\left(x^2-2x+1\right)}{16\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+4\sqrt[3]{3x+5}\left(x+7\right)+\left(x+7\right)^2}\right)\)
\(=\frac{\left(x^2-2x+1\right)}{4}\left(\frac{-18}{2\sqrt{3x-2}+3x-1}-\frac{x+23}{16\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+4\sqrt[3]{3x+5}\left(x+7\right)+\left(x+7\right)^2}\right)\)
Rút gọn \(x^2-2x+1\) với mẫu số và thay \(x=1\) vào