Question

[Nguyễn Minh Đăng]

GPT nghiệm nguyên:

\(2x^3-2y^3+5xy+1=0\)

Answer 1

[gamer vl]

https://diendantoanhoc.net/topic/118096-t%C3%ACm-nghi%E1%BB%87m-nguy%C3%AAn-c%E1%BB%A7a-ph%C6%B0%C6%A1ng-tr%C3%ACnh-2x3-2y35xy10/

Answer 2

[Tran Le Khanh Linh]

ta có \(2x^3-2y^3+5xy+1=0\Leftrightarrow2\left(x-y\right)\left|\left(x-y\right)^2+3xy\right|+5xy+1=0\)

đặt x-y=a, xy=b (a,b thuộc Z) ta được

\(2a\left(a^2+3b\right)+5a+1=0\Leftrightarrow2^3+6ab+5b+1=0\Leftrightarrow2a^3+1=-b\left(6a+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(2a^3+1\right)⋮\left(6a+5\right)\left(b\inℤ\right)\)

\(\Rightarrow\left(216a^3+108\right)⋮\left(6a+5\right)\Leftrightarrow\left|\left(6a\right)^3+5^3-17\right|⋮\left(6a+5\right)\)

\(\Rightarrow17⋮\left(6a+5\right)\Rightarrow\left(6a+5\right)\in\left\{-17;-1;1;17\right\}\Rightarrow a\in\left\{-1;2\right\}\)

với a=-1 ta có b=-1 => xy=x-y=-1 (loại)

với a=2 ta có: b=-1 => xy=-1 và x-y=2 => x=1; y=-1

thử lại ta thấy x=1; y=-1 là nghiệm nguyên của phương trình

vậy nghiệm của phương trình là (x;y)=(1;-1)