Cho ba số thực dương a,b,c
CMR : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\ge4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 4 2019
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x;y>0\right)\) (tự c/m ha)
\(\frac{7}{a}+\frac{5}{b}+\frac{4}{c}=\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{c}\right)\)
\(=4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\ge4.\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+3.\frac{4}{a+c}=4\left(\frac{4}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{3}{c+a}\right)\)
Dấu "=" <=> a = b = c
MT
6 tháng 12 2015
tự tìm đkxđ
\(\Leftrightarrow\left(4x^3-8x^2+4x\right)+\left(-17x^2+39x-22\right)+\left(x+\sqrt{3x-2}-\sqrt{3x-2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4x.\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)\left(-17x+22\right)+\sqrt{3x-2}\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x^2-4x-17x+22+\sqrt{3x-2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\) tự chứng minh vế kia >=0 đi :D
19 tháng 2 2022
Từ bất đẳng thức Cô si ta có:
\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\left[\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh:
\(\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)nên bất đẳng thức cuối cùng đùng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
VT
18 tháng 6 2017
giả sử a\(\le\)b \(\le\)c.
khi đó \(\frac{a}{b+c}\le\frac{b}{c+a}\le\frac{c}{a+b}\)
áp dụng BĐT Trê bư sép ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\le3\left(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\right)=3VT\)
lại có a2 + b2 + c2 \(\ge\) \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) nên:
3VT \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
hay VT \(\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\). đpcm
16 tháng 4 2019
\(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\)
\(=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)
\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
mà \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)(dễ chứng minh)
chứng minh tương tự ta có
\(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\)\(\ge\)6
\(\left(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\right)^2\ge6^2=36\)(2) (a>0; b>0; c>0)
tiếp theo chứng minh
\(36\ge4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(18\ge2\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(18a^2+18b^2+18c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(16\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(16\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (bất đẳng thức luôn đúng )
suy ra bất đẳng thức
\(36\ge4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)luôn đúng (2)
từ (1) và (2) suy ra
\(\left(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\right)^2\ge\text{}\text{36}\ge\)\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
23 tháng 9 2017
a + b + c = 3
a/( 1 + b^2 ) + b/( 1 + c^2 ) + c/( 1 + a^2 ) ≥ 3/2
Ta có
a/( 1 + b^2 ) = a - ab^2/( 1 + b^2 ) ≥ a - ab^2/2b = a - ab/2
Tương tự ta có
b/( 1 + c^2 ) ≥ b - bc/2
c/( 1 + a^2 ) ≥ c - ac/2
Cộng vào ta có
a/( 1 + b^2 ) + b/( 1 + c^2 ) + c/( 1 + a^2 ) ≥ a + b + c - ( ab + bc + ac )/2 = 3 - ( ab + bc + ac )/2
Xét ab + bc + ac
Ta có
a^2 + b^2 ≥ 2ab
b^2 + c^2 ≥ 2bc
c^2 + a^2 ≥ 2ac
=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ac
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ac + 2bc + 2ab ≥ 3( ab + ac + bc )
<=> ( a + b + c )^2 ≥ 3( ab + ac + bc )
<=> ab + ac + bc ≤ 9:3 = 3
=> 3 - ( ab + bc + ac )/2 ≥ 3 - 3/2 = 3/2
=> a/( 1 + b^2 ) + b/( 1 + c^2 ) + c/( 1 + a^2 ) ≥
23 tháng 9 2017
Theo dãy tỉ số bằng nhau , có :
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{b+c}{a}\right)^3=\left(\frac{c+a}{b}\right)^3=\left(\frac{a+b}{c}\right)^3=8\)
\(\Rightarrow\frac{\left(b+c\right)^3}{a^3}+\frac{\left(c+a\right)^3}{b^3}+\frac{\left(a+b\right)^3}{c^3}=8.3=24\)
7 tháng 5 2019
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{\left(b+c\right)^2}{bc}+\frac{\left(c+a\right)^2}{ac}=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+6\)
\(bđt\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge3+2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\right)\)
Mà: \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\right)\ge3\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\ge\frac{3}{2}\)
bđt cuối đúng theo Nesbit. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Ta có: \(\frac{a}{b}+1=\frac{a+b}{b}\)
*Cần c/m \(\frac{a+b}{b}\ge\frac{4a}{a+b},\forall a>0;b>0\) (*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b là số dương)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{b}{c}+1=\frac{b+c}{c}\ge\frac{4b}{b+c}\); \(\frac{c}{a}+1=\frac{c+a}{a}\ge\frac{4c}{c+a}\)
Cộng theo vế ta được:
\(\left(\frac{a}{b}+1\right)+\left(\frac{b}{c}+1\right)+\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge\frac{4a}{a+b}+\frac{4b}{b+c}+\frac{4c}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\ge4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)